Триъгълник (Шаригин)

[ganka simeonova]

Да се докаже, че един триъгълник е остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен в зависимост от това, дали неговият полупериметър е съответно по- голям, равен или по- малък от сбора на диаметъра на описаната и радиуса на вписаната окръжност.

[baroveca]

Ще се опитам да направя нещо, но не гарантирам, че ще е вярно.Нека триъгълника е провоъгълен.
Знаем,че [tex]r=p-c=>p=r+c[/tex], но [tex]\frac{c}{ sin90} =2R=>c=2R=>p=r+2R[/tex] и не може[tex]p=r+R,[/tex] ,защото [tex]p=r+2R[/tex]

[ganka simeonova]

Това е вярно, но трябва да с едокаже и обратното . Освен това да се докаже и за останалите случаи.

[baroveca]

Само това се сетих, защото триъгълника е правоъгълен и е по-лесно

[kerry]

Изписах един химикал и две тетрадки и стигнах до това:

[tex]p-(r+2R)=2R.\frac{cos\alpha}{\sqrt{1+sin\alpha}}.\frac{cos\beta}{\sqrt{1+sin\beta}}.\frac{cos\gamma}{\sqrt{1+sin\gamma}}[/tex]

1. [tex]p>r+2R[/tex]

[tex]p-(r+2R)>0[/tex]

И трите ъгъла са по-малки от [tex]90 ^\circ[/tex]. (Защото един триъгълник не може да има два тъпи ъгъла и един остър)

Остроъгълен триъгълник.


2. [tex]p=r+2R[/tex]

[tex]p-(r+2R)=0[/tex]

Два ъгъла са по-малки от [tex]90 ^\circ[/tex] и един е равен на [tex]90 ^\circ[/tex].

Правоъгълен триъгълник.


3. [tex]p<r+2R[/tex]

[tex]p-(r+2R)<0[/tex]

Два ъгъла са по-малки от [tex]90 ^\circ[/tex] и един е по-голям от [tex]90 ^\circ[/tex].

Тъпоъгълен триъгълник.