Полуокръжности и окръжност (Задача от Интернет)

[ins-]

Вярно ли е, че между [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]x[/tex] е в сила зависимостта от картинката? В случай, че не е - да се намери зависимост между тях, ако такава съществува.

[ins-]

Решение:

Скрит текст: покажи

120370147_3361871743927204_6690511956109178503_n.jpg (69.69 KiB) Прегледано 1507 пъти

Вместо теорема на Стюарт би могла да се ползва косинусова или питагорова теорема.

[Евва]

Скрит текст: покажи

Като има подсказка е лесно .

Ще използвам означенията от втория чертеж . Нека [tex]\angle[/tex]ВОС= [tex]\alpha[/tex] .
СО =АО=[tex]\frac{AB}{2}[/tex] =[tex]\frac{2a+2b}{2}[/tex] = a+b

QO =AO-AQ =a+b-a =b
OR= OB-BR = a+b-b =a
OP =OC-CP =a+b-x

([tex]\triangle[/tex]QOP -cos T) [tex](a+x)^{2 }[/tex] =[tex]b^{2 }[/tex] +[tex](a+b-x)^{2 }[/tex] -2b(a+b-x)cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])

Лесно намираме cos[tex]\alpha[/tex] =[tex]\frac{2ax+bx- b^{2 }-ab }{b(a+b-x)}[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]ORP -cos T) [tex](b+x)^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 }[/tex]+[tex](a+b-x)^{2 }[/tex]-2a(a+b-x)cos[tex]\alpha[/tex]

Лесно намираме cos[tex]\alpha[/tex] =[tex]\frac{ a^{2 } +ab-ax-2bx}{a(a+b-x)}[/tex] (2)

Скрит текст: покажи

От (1) и (2) получаваме :

[tex]\frac{2ax+bx- b^{2 } -ab}{b(a+b-x)}[/tex] =[tex]\frac{ a^{2 }+ ab-ax-2bx}{a(a+b-x)}[/tex]

2[tex]a^{2 }[/tex]x +abx -a[tex]b^{2 }[/tex] -[tex]a^{2 }[/tex]b =[tex]a^{2 }[/tex]b +a[tex]b^{2 }[/tex] -abx -2[tex]b^{2 }[/tex]x

2x([tex]a^{2 }+b^{2}[/tex]+ab) =2([tex]a^{2 }[/tex]b +a[tex]b^{2 }[/tex]) ; x=[tex]\frac{ab(a+b)}{ a^{2 } + b^{2 } +ab}[/tex]

[tex]\frac{1}{x}[/tex] =[tex]\frac{ a^{2 }+ b^{2 } +ab}{ab(a+b)}[/tex]

[tex]\frac{1}{x}[/tex]=[tex]\frac{(ab+ b^{2 }) +( a^{2 } +ab) -ab }{ab(a+b)}[/tex]

[tex]\frac{1}{x}[/tex]= [tex]\frac{b(a+b)}{ab(a+b)}[/tex] +[tex]\frac{a(a+b)}{ab(a+b)}[/tex] -[tex]\frac{ab}{ab(a+b)}[/tex]

[tex]\frac{1}{x}[/tex] =[tex]\frac{1}{a}[/tex] +[tex]\frac{1}{b}[/tex] -[tex]\frac{1}{a+b}[/tex]