Неравенство

[grav]

Дадено е [tex]0<p\leq a,b,c,d,e \leq q[/tex], да се докаже, че

[tex](a+b+c+d+e)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{e}\right) \leq 25+6\left(\sqrt{\dfrac{p}{q}}-\sqrt{\dfrac{q}{p}}\right)^2.[/tex]

[drago]

Без да съм извършвал сметки, само идея. Ако държим сумата $a+b+c+d+e$ постоянна, лявата страна трябва да приема максимална стойност за възможни граничн стойности, тъй като $\frac{1}{a}+\dots + \frac{1}{e}$ е изпъкнала ф-я. Това означава, че поне 4 от променливите $a,b,\dots,e$ ще бъдата равни на $p$ и $q$ без евентуално едно от средните. От тук наататък просто могат да се сметнат.

[ins-]

Едно от възможните решения:

Скрит текст: покажи

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1977_USAMO_Problems/Problem_5

[drago]

Ами, да, това е още по-просто! Лявата страна е изпъкнала функция по всяка от променливите $a,b,c,d,e$ (като сума на изпъкналите функции $C_1, C_2x,\frac{C_3}{x}$). Значи максимума на лявата страна ще се достига по краищата, т.е. когатое всяка от променливите е $p$ или $q$.

[grav]

https://en.wikipedia.org/wiki/Kantorovich_inequality