Докажете ,че

[Евва]

Докажете ,че за всеки правоъгълен триъгълник е в сила равенството :

[tex]r_{a }[/tex]+[tex]r_{b }[/tex]+[tex]r_{c }+r =a+b+c[/tex]

За първи път се сблъсквам с това равенство.
Не зная как изглежда оригиналното решение, но моето е доста дългичко.

[ins-]

Скрит текст: покажи

Доказва се, че триъгълник е правоъгълен тогава, и само тогава, когато:
a) $r+r_a+r_b+r_c=a+b+c$
б) $r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2=a^2+b^2+c^2$

(Задачата е давана на олимпиада в Германия през 80-те, публикувана е в сп. "Математика, публикувани са формулите в стария форум.)
Мързи ме да пиша доказателство, но ако се отвори файла по-долу може да се видят доказателства на тези и други твърдения.
http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf

[drago]

Докажете ,че за всеки правоъгълен триъгълник е в сила равенството :

[tex]r_{a }[/tex]+[tex]r_{b }[/tex]+[tex]r_{c }[/tex]+r =a+b+c

Не зная как изглежда оригиналното решение ,но моето е доста дългичко.

И аз не зная как е оригиналното решение. Но това става елементарно. Това го знам от моя Учител Васко Зарев, като видиш вписана окръжност (или външно вписана), допирните точки се изразяват много лесно. Няма как да не го знаеш $p-a, p-b, p-c$. Няма нужда и да го помниш, само го нарисувай, то ще си дойде. E, като е правоъгълен, това са съответните радиуси. Четвъртият, този външния, дето се допира до хипотенузата е $p$. Само остава да ги събереш!

[Евва]

Скрит текст: покажи

Днес успях да я реша на 5 реда .

Не мога да схвана идеята на drago .

[Евва]

[tex]r_{1 }[/tex]+[tex]r_{2 }[/tex]+[tex]r_{3 }[/tex]+r=

=[tex]\frac{S}{p-a}[/tex]+[tex]\frac{S}{p-b}[/tex]+[tex]\frac{S}{p-c}[/tex]+[tex]\frac{S}{p}[/tex]=

=( [tex]\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{b+c-a}{2}}[/tex]+[tex]\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a-b+c}{2}}[/tex] )+( [tex]\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b-c}{2}}[/tex]+[tex]\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}[/tex] )=

=[tex]\frac{ab(a-b+c)+ab(b+c-a)}{ab-b^{2}+bc+ac-bc+c^{2}-a^{2}+ab-ac}[/tex] + [tex]\frac{ab(a+b+c)+ab(a+b-c)}{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}[/tex]=

=[tex]\frac{ab.2c}{2ab}[/tex]+[tex]\frac{ab(2a+2b)}{2ab}[/tex]=

=a+b+c

[drago]

Не мога да схвана идеята на drago .

Идеята е, че: $r_a = p-b, r_b=p-a, r_c=p, r=p-c$. Остава само да ги събереш и сме готови.