Ирационален израз

[ins-]

Опростете израза:
[tex]\frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+...+\sqrt{10+\sqrt{99}}}{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}}}[/tex]

[Davids]

Откъде е задачата? Супер интересна е, с колегата @Sup3rlum буквално сън не сме спали да я решаваме. Отговорът, едно на ръка, е $\sqrt{2} + 1$, още познат като сребърното сечение (the silver ratio), член от редицата на металните сечения. С тези числа са свързани някои супер готини свойства, каквото например имаме със задачата тук, която е частен случай на генерализираното твърдение, че $\forall n\in\N$, $n > 1$, е в сила:
${\displaystyle f(n) := \dfrac{\sum_{k=1}^{n^2 - 1}\sqrt{n + \sqrt{k}}}{\sum_{k=1}^{n^2 - 1}\sqrt{n - \sqrt{k}}} } = \sqrt{2} + 1$. Играем си цяла нощ с методи за извеждане на отговора, но нещо все не можем да го докараме, та реших в крайна сметка да питам все пак да не илзезе нещо извън нашата лига. Но щом като работи, значи трябва да има някакъв консистентен път, който довежда до този хубав резултат! Ще се радваме на допълнително информация.

[ins-]

Мислех, че задачата е известна. Добавили са ме разни хора в групи за математика във фейсбук. Беше я споделил учител по математика от Албания. Можем да означим целия израз с x. Ако използваме формулата за сложен радикал за изразите в числителя се получава уравнение за x и така се намира точната стойност. Не съм срещал често израз да се опростява чрез решаване на уравнение. Формулата за сложен радикал често стои като декоративен елемент в справочниците. Мисля, че изглежда изразът красиво. Затова споделих задачата.

[Davids]

Мислех, че задачата е известна. Добавили са ме разни хора в групи за математика във фейсбук. Беше я споделил учител по математика от Албания. Можем да означим целия израз с x. Ако използваме формулата за сложен радикал за изразите в числителя се получава уравнение за x и така се намира точната стойност. Не съм срещал често израз да се опростява чрез решаване на уравнение. Формулата за сложен радикал често стои като декоративен елемент в справочниците. Мисля, че изглежда изразът красиво. Затова споделих задачата.

A, ето какво ми убягвало... Формулите за сложен радикал, защо съм пропуснал същестуването им... А дори си търсех някаква интуиция зад радикалите от този вид, ама тя топлата вода не се открива лесно
По-късно ще се включа с едно мъничко решенийце за общия вид.

[pipi langstrump]

Означаваме числитела с А, знаменатела с В. В числитела прилагаме формулата за сложен радикал и се получава:

[tex]\frac{A}{B} = \frac{A+B}{\sqrt{2}B}[/tex]

Ако А/В = х става

[tex]\sqrt{2}x =x +1[/tex]или [tex]x = \sqrt{2} +1[/tex]

[ins-]

A, ето какво ми убягвало... Формулите за сложен радикал, защо съм пропуснал същестуването им... А дори си търсех някаква интуиция зад радикалите от този вид, ама тя топлата вода не се открива лесно
По-късно ще се включа с едно мъничко решенийце за общия вид.

Нищо, важното е да се види нещо красиво и човек да се забавлява, а ако може и да научи нещо. Трудно се откриват и/или измислят интересни и запомнящи се задачи, а именно те провокират интереса към математиката.

[Davids]

Означаваме числитела с А, знаменатела с В. В числитела прилагаме формулата за сложен радикал и се получава:

[tex]\frac{A}{B} = \frac{A+B}{\sqrt{2}B}[/tex]

Ако А/В = х става

[tex]\sqrt{2}x =x +1[/tex]или [tex]x = \sqrt{2} +1[/tex]

Както коле(г/жк)ата ме е изпреварил(а), да онагледя какво се има предвид по-детайлно:
$x = {\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{\sum_{k=1}^{n^2 - 1}\sqrt{n + \sqrt{k}}}{\sum_{k=1}^{n^2 - 1}\sqrt{n - \sqrt{k}}} = \frac{\sum_{k=1}^{n^2 - 1}a_k}{\sum_{k=1}^{n^2 - 1}b_k}}$

Нека с $\overline{k}$ означим симетричния на $k$ индекс вътре в сумата, т.е. $\overline{k} = n^2 - k$. Това ни е полезно вътре в сумата, понеже $\sum_{k=1}^{n^2-1}f(k) = \sum_{k=1}^{n^2-1}f(\overline{k})$

Тогава, спрямо формулата за сложен радикал: $\sqrt{a + \sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\sqrt{a + \sqrt{a^2 - b}} + \sqrt{a - \sqrt{a^2 - b}}\Big)$, за нашето $a_k$ имаме:
$a_k = \sqrt{n + \sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\sqrt{n + \sqrt{n^2 - k}} + \sqrt{n - \sqrt{n^2 - k}}\Big) = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\sqrt{n + \sqrt{\overline{k}}} + \sqrt{n - \sqrt{\overline{k}}}\Big) = \frac{a_{\overline{k}} + b_{\overline{k}}}{\sqrt{2}}$.

Тогава числителят $A = {\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2 - 1}a_k = \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{k=1}^{n^2 - 1}\Big(a_{\overline{k}} + b_{\overline{k}}\Big)} = \frac{A + B}{\sqrt{2}}$

И окончателно вече, както пише и в цитирания от мен текст, остава
$\sqrt{2}A = A + B$
$\Rightarrow \sqrt{2}x = x + 1$
$\Rightarrow \boxed{x = \sqrt{2} + 1 = \delta_S}$

[S.B.]

Опростете израза:
[tex]\frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+...+\sqrt{10+\sqrt{99}}}{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}}}[/tex]

И още един поглед върху задачата!
Ще използвам следните формули:
$$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2}}$$
$$\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2}}$$
Означавам дробта с $ \frac{X}{Y} , X>Y \Rightarrow \frac{X}{Y} >1$
Преработвам числителят като прилагам първата формула:
[tex]X = \sqrt{10 + \sqrt{1}} + \sqrt{10 + \sqrt{2}} + ........\sqrt{10 + \sqrt{98}} + \sqrt{10 + \sqrt{99}} =[/tex]
$ = \sqrt{\frac{10 + \sqrt{100 - 1}}{2}} + \sqrt{\frac{10 - \sqrt{100 - 1}}{2}} + ......+ \sqrt{\frac{10 + \sqrt{100 - 99}}{2}} + \sqrt{\frac{10 - \sqrt{100 - 99}}{2}} = $
$=\sqrt{\frac{10 + \sqrt{99}}{2}} + \sqrt{\frac{10 - \sqrt{99}}{2}} + .......+ \sqrt{\frac{10 + \sqrt{1}}{2}} + \sqrt{\frac{10 - \sqrt{1}}{2}} = $
$ = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{10 +\sqrt{1}} + ....+\sqrt{10 + \sqrt{99}}) + \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{10 - \sqrt{1}} +.....+\sqrt{10 - \sqrt{99}}) = $
$ = \frac{1}{\sqrt{2}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}.Y = \frac{1}{\sqrt{2}}(X + Y)$
Преработвам знаменателя,като прилагам втората формула:
$ Y = \sqrt{10 - \sqrt{1}} + \sqrt{10 - \sqrt{2}} +..................+ \sqrt{10 - \sqrt{98}} + \sqrt{10 - \sqrt{99}} = $
$ = \sqrt{\frac{10 + \sqrt{99}}{2}} - \sqrt{\frac{10 - \sqrt{99}}{2}} + .............+ \sqrt{\frac{10 + \sqrt{1}}{2}} - \sqrt{\frac{10 - \sqrt{1}}{2}} = $
$ = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{10 + \sqrt{1}} +.....+\sqrt{10 + \sqrt{99}}) - \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{10 - \sqrt{1}} +.......+\sqrt{10 - \sqrt{99}}) = $
$ = \frac{1}{\sqrt{2}}.X - \frac{1}{\sqrt{2}}.Y = \frac{1}{\sqrt{2}} ( X - Y)$
Тогава получавам : $\displaystyle \frac{X}{Y} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(X + Y)}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(X - Y)}$
$\frac{X}{Y} = \frac{X + Y}{X - Y} \Leftrightarrow X^{2} - 2XY - Y^{2} = 0$
$ Y \ne 0 \Rightarrow (\frac{X}{Y})^{2} - 2\frac{X}{Y} - 1 = 0 , D = 8 , \frac{X}{Y} = 1 \pm \sqrt{2}$
Но $\frac{X}{Y} > 1 \Rightarrow \frac{X}{Y} = 1 + \sqrt{2}$
$$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{1}} + \sqrt{10} + \sqrt{2} + .....+\sqrt{10 + \sqrt{99}}}{\sqrt{10 - \sqrt{1}} + \sqrt{10 - \sqrt{2}}+.....+\sqrt{10 - \sqrt{99}}} = 1 + \sqrt{2}$$

[ins-]

Има малка грешка точно накрая във второто събираемо на числителя, но по-важна е идеята и, че са ясни нещата!

[S.B.]

$$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{1}} + \sqrt{10} + \sqrt{2} + .....+\sqrt{10 + \sqrt{99}}}{\sqrt{10 - \sqrt{1}} + \sqrt{10 - \sqrt{2}}+.....+\sqrt{10 - \sqrt{99}}} = 1 + \sqrt{2}$$
Да, има грешка във второто събираемо в числителя и очевидно тя е техническа,получена при набирането на текста.Отговорът трябва да изглежда така:
$$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{1}} + \sqrt{10 + \sqrt{2}} + ..... +\sqrt{10 + \sqrt{99}}}{\sqrt{10 - \sqrt{1}} + \sqrt{10 - \sqrt{2}} + ..... + \sqrt{10 - \sqrt{99}}} = 1 + \sqrt{2}$$

[ins-]

Малко по-различна гледна точка!

Разсъжденията не са мои, но са красиви и затова ги споделям.

126449988_917285612346235_6304991587964007771_n.png (69.43 KiB) Прегледано 846 пъти

126034679_177920950673036_6585162465714946278_n.png (197.99 KiB) Прегледано 846 пъти