Стереометрична задача от ценен сайт

[ins-]

В правилна четириъгълна пирамида [tex]QABCD[/tex], всички ръбове са равни помежду си. Сфера с радиус [tex]R[/tex] минава през точка [tex]A[/tex] и се допира до околните ръбове [tex]QB[/tex] и [tex]QD[/tex] в техните среди. Да се намери обемът на пирамидата.

[S.B.]

В правилна четириъгълна пирамида [tex]QABCD[/tex], всички ръбове са равни помежду си. Сфера с радиус [tex]R[/tex] минава през точка [tex]A[/tex] и се допира до околните ръбове [tex]QB[/tex] и [tex]QD[/tex] в техните среди. Да се намери обемът на пирамидата.

Без заглавие - 2020-12-08T222738.253.png (424.62 KiB) Прегледано 1452 пъти

Геометричното място на центровете на всички сфери,които минават през две точки е симетралната равнина на отсечката определена от тези две точки.
В задачата, сферата се допира до точките $M$ и $N$ ,които са среди съответно на $DQ$ и $BQ$ и следователно центърът на сферата принадлежи на равнината $\lambda_{1 }$, която е симетрална за отсечката $MN$ : $ \begin{cases}PM = PN\\\lambda_{1 }Z P \\ \lambda_{1 }\bot MN\end{cases}$.
Тъй като сферата минава през точка $A$ ,аналогично се построяват симетралните равнини на отсечките $MA$ и $NA$ съответно $\lambda_{2 }$ и $\lambda_{3 }$.
Трите равнини имат обща точка $O_{1 }$,която е пресечната точка на симетралите на страните на $\triangle MNA$
Щом имат обща точка,те със сигурност имат и втора обща точка,а следователно и обща права $s \begin{cases} s Z O_{1 } \\s\bot (AMN)\end{cases}$
$O_{1 }\in \begin{cases} \lambda_{1 }\\ \lambda_{2 }\\\lambda_{3 } \end{cases} \Rightarrow O_{1 }$ е търсеният център на сферата
$O_{1 }\in \triangle AMN$ и като пресечна точка на симетралите на страните на този триъгълник, $O_{1 }$ е център на описаната около него окръжност с радиус равен на радиуса на сферата - $R$

Нека всички ръбове на пирамидата $ABCDQ$ имат дължина $a$
Разглеждам $\triangle AMN$:
От $\triangle BDQ \rightarrow MN$ съединява средите на $QB$ и $QD \Rightarrow$ е средна отсечка и [tex]MN = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]
От $\triangle ABQ \rightarrow AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ като медиана в равностранен триъгълник
От $\triangle ADQ \rightarrow AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ като медиана в равностранен триъгълник
За $\triangle AMN$ прилагам Косинусова теорема:
$MN^{2} = AM^{2} + AN^{2} - 2.AM.AN.cos\varphi \Leftrightarrow (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2} = 2.(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}(1 - cos\varphi) \Rightarrow cos\varphi = \frac{2}{3}$
От $cos\varphi = \frac{2}{3} \rightarrow sin\varphi = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} \Rightarrow sin\varphi = \frac{\sqrt{5}}{3}$
За $\triangle AMN$ прилагам Синусова теорема:
$\displaystyle\frac{MN}{sin\varphi} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{3a\sqrt{10}}{10} = 2R \Rightarrow a = \displaystyle\frac{2R\sqrt{10}}{3}$
Тъй като всички ръбове на пирамидата са равни на $a$ то $h = QH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Тогава за обема получаваме $V = \frac{1}{3}a^{2}\frac{a\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
От $\begin{cases} V = \displaystyle\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6} \\ a = \displaystyle\frac{2R\sqrt{10}}{3} \end{cases} \rightarrow$ $$V = \displaystyle\frac{40R^{3}\sqrt{20}}{81}$$

[ins-]

Отговорът е: [tex]V=\frac{128 R^3}{81}[/tex]. Грешката вероятно идва от стойността на [tex]a[/tex]. Задачата може да се реши без тригонометрия. Дано да е интересна и да се хареса на потребителите.

[KOPMOPAH]

Задачата е хубава и не мога да видя откъде идва разминаването
Мисля, че на чертежа $\triangle AMN$ е с правилните размери. Намираме отсечката $AP=\frac {a\sqrt {10}}4$ например с Питагорова теорема. Изразявайки лицето на $\triangle AMN$ чрез $S=\frac {abc}{4R}$ и $S=\frac 12.\frac{a\sqrt 2}2.\frac {a\sqrt {10}}4$ намираме, че $a=\frac {2R\sqrt {10}}3$, колкото е получила и уважаваната $S.B.$ Оттам нататък няма как да се отървем от този $\sqrt 5$ и посоченият отговор ми се струва не много верен

[ins-]

Значи добре съм предложил задачата като "Задача на седмицата".

Прилагам решението, което имам. Ако в него няма грешка, значи в решението на S.B. има грешка.
Ще е интересно да се види къде е и защо се получава.

Преди време имаше инициатива #Да Съхраним Стереометрията!
Задачата е част от нея. Освен това е част от по-голяма колекция, която искам да споделя
и да се даде пример за нещо красиво, което се надявам да вдъхнови повече хора.

Ето го и решението:

Str1.jpg (157.23 KiB) Прегледано 1414 пъти

Str2.jpg (71.82 KiB) Прегледано 1414 пъти

[Евва]

Мисля ,че разминаването е в чертежа .
Сферата построена от S.B. пресича околните ръбове QB и QD .

Честно казано аз не можах да си представя чертежа .

[ins-]

Задачата, както и много други е публикувана на сайта:
http://ilovemath-0123456789.4stupki.com/
(1993 г., 11 кл., зад. 3)

Той съдържа задачите и решенията от олимпиадата по математика - общински кръг (предишен втори, сегашен първи) за обаст Враца - 1993-2015 г.
Дълго настоявах да бъдат качени тези задачи в Интернет (от 2007 г.). Накрая мечтата ми се сбъдна и тази година г-жа Румяна Несторова ги публикува.

Скрит текст: покажи

(Завършила ФМИ на СУ "Св.Кл.Охридски", гр.София
Специалност математика
Учител по математика и информатика
Носител на I ПКС
Работила в РУО, ППМГ "Ак.Ив.Ценов", СУ"Хр.Ботев", СУ "Св.Кл.Охридски", гр.Враца
Отличена с почетното звание на МОН "Неофит Рилски"
Член на СМБ в България
Член на сдружение "Европейско кенгуру")

Въпреки някои грешки и несъвършенства сайтът съдържа много ценни материали и статии.
Задачите освен практическа имат и историческа стойност - проследяват нивото на учениците и застъпеният на олимпиадите материал.
Дано да бъдат полезни на много хора и да ги зарадват поне толкова, колкото мен!

Скрит текст: покажи

Като ученик съм участвал в тези олимпиади [1995-1998] и през 1998 г. (бях в 11-ти клас) успях да се класирам за областен кръг.

Лошото е, че от малко инспекторати са направили задачите от общински кръг (особено по-старите) широко достъпни и по този начин натрупаният опит не се използва и/или се губи.
Ще се радвам да видя още подобни задачи!

[S.B.]

Сферата построена от S.B. пресича околните ръбове QB и QD .

Уважаема колежке Евва,
Взаимните положения на права и сфера се определят от броя на общите им точки
Има само 3 случая:
Правата и сферата имат $0$ общи точки , $1$ обща точка и $2$ общи точки.
Вие твърдите,че на моя чертеж сферата пресича околните ръбове - т. е. сигурна сте, че всеки от околните ръбове $BQ$ и $DQ$ има по ДВЕ общи точки със сферата. Аз съм посочила само по ЕДНА обща точка [tex]М\in BQ[/tex] и $ N \in DQ$Бъдете така добра, да посочите ВТОРАТА обща точка,която аз съм отбелязала на всеки от указаните околни ръбове със сферата .
Това,че сферата се допира до тези точки,означава, че сферата и околните ръбове имат само по ЕДНА обща точка.

[ins-]

От къде идва разликата в отговорите?!

[S.B.]

Прилагам решението, което имам. Ако в него няма грешка, значи в решението на S.B. има грешка.
Ще е интересно да се види къде е и защо се получава.

Разминаване има и то се състои в определянето центъра на сферата.
Сферата минава точно през три точки.Всеки две определят по една отсечка,а геометричното място на центровете на всички сфери,които минават през тези две точки е върху симетралната равнина на отсечката.Има три отсечки : [tex]MN,AM,AN[/tex] и съответно са построени 3 симетрални равнини.Те имат обща точка, а следователно и обща права.Центърът на сферата принадлежи именно на тази права, която на моя чертеж е означена с $s$.Тя минава през центъра на описаната около $\triangle AMN$ окръжност и е перпендикулярна на повърхнината на този триъгълник,защото е перпендикулярна на всяка от страните му,което се доказва лесно.Центърът на описаната около $\triangle MNA$ окръжност е пресечна точка и на трите геометрични места на които може да се намира центъра на сферата.За това аз го приемам за център на сферата.
Ще приема вашето решение,когато Вие докажете,че $s \cap AC = O$,защото във вашето решение се казва,че $O\in AC$,но то не е достатъчно,защото $О$ е пресечна точка на 2 геометрични места - пресечната права $s$ на трите симетрални равнини и още нещо - в случая $AC$.

[ins-]

Решението не е мое, а го намерих. Предполагам, че то е било показано на участниците в олимпиадата през 1993 г. Случва се да има грешки, например задача 3 от темата за 10-ти клас през 1997 г. е с грешно решение, публикувано почти 1:1 в сп. "Математика и информатика".

Това, което разбирам от предложеното решение следното - центърът на описаната около пирамидата сфера не е определен еднозначно. Единствено се използва, че центърът на сферата минава симетралната равнинa на отсечката BD и през равнините, перпендикулярни на BQ и DQ, съответно през точките M и N което би трябвало да е правата AC (т. А принадлежи на сферата по условие) т.е. центърът на сферата не е еднозначно определен, а единствено се твърди, че е върху дадена права.

Във вашето решение [tex]O_1M[/tex] и [tex]O_1N[/tex] перпендикулярни ли са съответно на [tex]BQ[/tex] и [tex]DQ[/tex]? За да е [tex]O_1[/tex] център на сферата и [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] да са допирни точки на сферата с тези ръбове - трябва да са перпендикулярни.

Възможно е 3 точки да принадлежат на сфера, но центърът на сферата да не лежи в равнината, определена от тях.

[math10.com]

Решението на S.B. не е правилно.Центъра на сферата се намира върху отсечката [tex]AH[/tex].Малко ще е сложно да обясня тук , но ще опитам.
След като сферата се допира до точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] означава че сечението на търсената сферата с равнината определена от точките [tex]B,D,Q[/tex] е вписаната в [tex]\angle BQD[/tex] окръжност , която се допира до раменете на ъгъла в точки [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] .Центъра на сферата ще лежи върху права перпендикулярна на равнината определена от точките [tex]B,D,Q[/tex] и минаваща през центъра на окръжността вписана в [tex]\angle BQD[/tex] , допираща се до раменете на ъгъла в точки [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] , което е правата определена от точките [tex]A[/tex] и [tex]H[/tex].По нататък решението е само сметки.

[ins-]

Не съм математик или преподавател, но ще се опитам да обясня определянето на центъра, както го разбирам.

Нека се абстрахираме от цялата пирамида, а да си представим идеално права метална пръчка с прикрепен за нея и допиращ се в определена точка X прозрачен балон с форма на сфера с радиус x и фиксиран център, оцветен в лилаво. Aко завъртим металната пръчка около X, центърът на сферата описва лилава окръжност с център X и радиус x, лежаща в перпендикулярна равнина на металната пръчка.
Ако не знаем радиусът на балона, то можем да кажем, че множеството от центровете на всички сферични балони, допиращи се до метална пръчка в точка X лежи в равнина, перпендикулярна на нея.

Ако се върнем към задачата и погледнем нещата от перспективата на BQ и M, то центърът на сферата от задачата ще лежи в равнина през M, перпендикулярна на BQ. За да определим тази равнина са достатъчни 2 перпендикулярни прави на BQ през M. По случай, че всички ръбове по условие са равни, то ABQ и CBQ са равностранни, а AM и CM са височини в тях (по условие M е среда на BQ). Следователно равнината, определена от точките A, C и M е търсената равнина.

Ако погледнем нещата от перспективата на DQ и N по аналогичен начин се доказва, че центърът на сферата лежи в равнината, определена от точките A, C и N.

Щом центърът на сферата лежи в 2 равнини, то той лежи в множеството от пресечните им точки, което е права. За да определим тази права ни трябват 2 точки. A и C са такива точки. Следователно центърът на сферата лежи на правата, определена от A и C.

Разсъжденията, които следват също изискват опит и умения. Ако човек гледа решението на задачата тя изглежда не много сложна. Но ако тръгне да я решава може да се обърка, ако няма опит, моментна нагласа и концентрация. А какво може да стане в състезателна обстановка също е интересно (давана е на общински кръг).

[S.B.]

Това, което разбирам от предложеното решение следното - центърът на описаната около пирамидата сфера не е определен еднозначно.

Без заглавие - 2020-12-11T202343.626.png (437.03 KiB) Прегледано 1244 пъти

Първо искам да Ви поправя,че сферата НЕ Е ОПИСАНА ОКОЛО ПИРАМИДАТА!
Наистина нито в предложеното решение,нито в обяснението на уважавания от мен колега math10com,нито в моето решение ,нито във вашето обяснение центърът на сферата не беше определен еднозначно.
Центърът на сферата е определен от сечението на две геометрични места :
1) Сферата минава през трите точки $M,N,A$ и геометричното място на центровете на ВСИЧКИ сфери,които могат да минат през тези три точки е пресечницата на трите симетрални равнини - правата $S$,която минава през центъра на описаната около [tex]\triangle AMN[/tex] окръжност и е перпендикулярна на равнината на $\triangle AMN$.
2) Сферата се допира до средите $M$ и $N$ съответно на околните ръбове $QB$ и $QD$.Геометричното място на центровете на ВСИЧКИ сфери,които се допират до раменете на $\angle BQD$ е ъглополовящата равнина на този ъгъл,която е перпендикулярна на равнината $(BQD)$Тъй като сферата се допира до средите на околните ръбове,центърът ѝ ще лежи на пресечницата на равнините построени през допирните точки и перпендикулярни на околните ръбове.Тази пресечница е права пепендикулярна на равнината на $\triangle BQD$ и минава през средата на $BD$ - точка $H$.Следователно правата $AC$ е геометричното място на центровете на сферите,които се допират до средите $M$ и $N$ на околните ръбове $BQ$ и $DQ$
Центърът на сферата е сечението на двете геометрични места :$$S\cap AC = O$$
За $\triangle AMN$ ще използвам резултатите от първото ми решение:
$AP = \frac{a\sqrt{10}}{4} , sin\varphi = \frac{\sqrt{5}}{3}$ , радиуса на описаната около $\triangle AMN$ окръжност е $ r = AO_{1 } = \frac{3a\sqrt{10}}{20}$
Нека $\angle PAH = \alpha$
От $\triangle AHP \rightarrow cos\alpha =\displaystyle \frac{AH}{AP} \Leftrightarrow cos\alpha = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle\frac{a\sqrt{10}}{4}} \Rightarrow cos\alpha = \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}$
От $\triangle AO_{1 }O \rightarrow \displaystyle\frac{AO_{1 }}{AO} = cos\alpha \Leftrightarrow \displaystyle\frac{r}{R} = \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{3a\sqrt{10}}{20}}{R} = \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5} \Rightarrow a = \displaystyle\frac{8R}{3\sqrt{2}}$
$V = \frac{1}{3}.a^{2}.QH \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
$V = (\frac{8R}{3\sqrt{2}})^{3}.\frac{\sqrt{2}}{6} \Leftrightarrow V = \frac{2^{9}R^{3}\sqrt{2}}{3^{3}2\sqrt{2}.2.3} \Leftrightarrow V = \frac{2^{7}R^{3}}{3^{4}} \Rightarrow$ $$V = \frac{128R^{3}}{81}$$

[ins-]

"описаната около пирамидата сфера" - тук съм написал глупост, съгласен съм.
Сферата, не е нито вписана, нито описана, а "нестандартна" т.е. с по-специфични изисквания.
Заблеял съм се и съм написал щуротия.

Предполагам, че съм мислел за пирамида част от върховете на която са A, M, N.
За нея сферата наистина е описана. Не съм "превключил" към QABCD и така се е родил този бисер.

Хубаво е, че се видя и друг начин да се реши задачата. Поздравления за решението!

[math10.com]

Много се извинявам че не написах решение на задачата.Истината е ,че стереометрията не ми е присърце и не ми се занимаваше с тази задача.Предходния ми пост беше просто да разреша спора , който възникна между вас относно местоположението на центъра на търсената сфера и аз защитих позицията на решението постнато от Ins и опровергах твърдението на S.B. за това ,че търсения център е центъра на описаната около [tex]\triangle AMN[/tex] окръжност.
За да задоволя последвалите капризи ето все пак и решение.
Проекциите [tex]M_1 , N_1[/tex] на точките [tex]M, N[/tex] в равнината [tex]ABCD[/tex] са среди на отсечките [tex]BH[/tex] и [tex]DH[/tex].
С Питагорова теорема намираме [tex]AC=BD=a\sqrt{2}; \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}; \Rightarrow M_1H=N_1H=\frac{a\sqrt{2}}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow MM_1=NN_1=\frac{QH}{2}=\frac{AC}{4}=\frac{a\sqrt{2}}{4} (QH[/tex] е височинав равнобедрен правоъгълен триъгълник)
Нека точката [tex]O\in AH[/tex] е центъра на търсената сфера (защо е там обясних в предходния пост и надявам се няма други мнения)
[tex]\Rightarrow AO=MO=NO=R \Rightarrow AO^2=MO^2=NO^2=R^2[/tex]
[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}OM_1^2=OM^2-MM_1^2 \Rightarrow OM_1^2=R^2-\frac{a^2}{8} \rightarrow( ThP \triangle OMM_1)\\ OM_1^2=OH^2+M_1H^2 \Rightarrow OM_1^2=\frac{a^2}{8}+(\frac{a\sqrt{2}}{2}-R)^2 \rightarrow (ThP \triangle OM_1H) \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow R^2-\frac{a^2}{4}=R^2+\frac{a^2}{2}-Ra\sqrt{2} \Rightarrow a=\frac{4R\sqrt{2}}{3}[/tex]

[tex]V_{ABCDQ}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}=\frac{128R^3}{81}.[/tex]

[ins-]

Всеки раздел от математиката има собствена красота. Хората са различни и имат своите предпочитания. На мен стереометрията ми харесва. Не мога да разбера защо е пренебрегната. За жалост почти не съм измислял смислена задача, свързана с нея и съм загубил форма. Но не се знае - след време това може да се промени.