ТРИЪГЪЛНИК4

[math10.com]

Медианата [tex]AM[/tex] и ъглополовящата [tex]CL[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex] се пресичат в точка [tex]D[/tex].
Ако [tex]AB=CD[/tex] да се намерят ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex].

[ins-]

Ако не съм объркал нещо с теорема на Менелай и теорема за ъглополовящата + М среда на BC стигам до ALD - равнобедрен. После ползвам тригонометрия с идеята да стигна до отношения на страните на ABC и с тяхна помощ да се определят ъглите, но вероятно не виждам нещо, стават тегави сметки, които вероятно ще излязат, ако ползвам софтуер, но ме домързява да ги довърша.

Има ли задачата по-кратко и красиво решение?

[math10.com]

Като се замисли човек ще разбере ,че за да е определен един триъгълник са необходими поне 3 елемента.Указа се ,че съм изпуснал част от условието , което прави задачата неопределена.Извинявам се на всички , които са отделили време да я мислят и чувстват , че съм им го загубил.Коригирам условието с коректно:

Медианата [tex]AM[/tex] и ъглополовящата [tex]CL[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex] се пресичат в точка [tex]D[/tex].
Ако [tex]AB=CD[/tex] и [tex]\angle ACB=\angle DAB[/tex] да се намерят ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex].

[Евва]

Получих отговор : [tex]\alpha[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] , [tex]\beta[/tex]=105[tex]^\circ[/tex] , [tex]\gamma[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]

[math10.com]

Точно толкова е
Ако искаш си напиши решението.

[ins-]

Като се замисли човек ще разбере ,че за да е определен един триъгълник са необходими поне 3 елемента.

Не съм сигурен, че за да се намерят ъглите на триъгълник винаги са необходими поне 3 елемента. Пример: За триъгълник е дадено: $ab = c^2$ и $\gamma=30^\circ$. Ъглите му могат да се намерят по тези данни.

[Евва]

Утре ще пратя решението си .

[Евва]

Върху правата АМ да построим точка N така,че MN=MD (т.М е между т.D и т.N) BNCD е успоредник ,защото диагоналите му взаимно се разполовяват.Тогава BN=CD=AB [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABN e равнобедрен (@)
Нека ВС=а,АВ=с ,означаваме ъглите: [tex]\angle[/tex]BCA=[tex]\angle[/tex]DAB=[tex]\gamma[/tex] ,[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex], [tex]\angle[/tex]BCL=[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex] ,[tex]\angle[/tex]BNA=[tex]\gamma[/tex] (от @) .
[tex]\angle[/tex]CDN=[tex]\angle[/tex]BNA=[tex]\gamma[/tex] (кръстни) ; от [tex]\triangle[/tex]DMC намираме [tex]\angle[/tex]DMC=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{3\gamma}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] съседният [tex]\angle[/tex]BMA=[tex]\frac{3\gamma}{2}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]ABM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] първо [tex]\angle[/tex]BMA=[tex]\angle[/tex]BAC т.е. [tex]\frac{3\gamma}{2}[/tex]=[tex]\alpha[/tex] (2)
второ [tex]\frac{AB}{BC}[/tex]=[tex]\frac{BM}{AB}[/tex] ; BC.BM=[tex]AB^{2}[/tex] ;a.[tex]\frac{a}{2}[/tex]=[tex]c^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a=c[tex]\sqrt{2}[/tex] (3)
([tex]\triangle[/tex]ABC-sin T) [tex]\frac{BC}{sin\frac{3\gamma}{2}}[/tex]=[tex]\frac{AB}{sin\gamma}[/tex] ; [tex]\frac{a}{sin3(\frac{\gamma}{2})}[/tex]=[tex]\frac{c}{sin\gamma}[/tex] ; [tex]\frac{c\sqrt{2}}{sin3(\frac{\gamma}{2})}[/tex]=[tex]\frac{c}{2sin\frac{\gamma}{2}.cos\frac{\gamma}{2}}[/tex]

2[tex]\sqrt{2}[/tex]sin[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]cos[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]=sin[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex](3-4[tex]sin^{2}[/tex][tex]\frac{\gamma}{2}[/tex])

2[tex]\sqrt{2}[/tex]cos[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]=3-4(1-[tex]cos^{2}[/tex][tex]\frac{\gamma}{2}[/tex])
Полагаме cos[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]=x и решаваме кв. уравнение 4[tex]x^{2}[/tex]-2[tex]\sqrt{2}[/tex]x-1=0
Намираме [tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}[/tex](4)

Скрит текст: покажи

Отрицателният корен отпада,защото не е възможно [tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]>90[tex]^\circ[/tex] .

cos[tex]\gamma[/tex]=2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]-1 (формула)
cos[tex]\gamma[/tex]=2([tex]\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4})^{2}[/tex]-1 =[tex]\frac{2}{16}[/tex](2+2[tex]\sqrt{12}[/tex]+6)-1=[tex]\frac{1}{8}[/tex](8+4[tex]\sqrt{3}[/tex])-1 = [tex]\frac{2+\sqrt{3}}{2}[/tex]-[tex]\frac{2}{2}[/tex] =[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Намерихме cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\gamma[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3\gamma}{2}[/tex] ( от (2) ) т.е. [tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3.30^\circ}{2}[/tex] ; [tex]\alpha[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]
Тогава [tex]\beta[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-([tex]\alpha[/tex]+[tex]\gamma[/tex])=180[tex]^\circ[/tex]-75[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\beta[/tex]=105[tex]^\circ[/tex]

[math10.com]

Като задача на седмицата нямаше изискване за решение с материал за 7-ми клас.Получихме едно чудесно решение от #Евва.
По молба на друг потребител , а и за да сме полезни на по-малките ще публикувам и достъпно решение за 7-ми клас.

tr4.png (70.35 KiB) Прегледано 738 пъти

Нека [tex]\angle ACD= \angle BCD =\alpha \Rightarrow \angle BAD=2\alpha[/tex]
Върху продължението на медианата [tex]AM[/tex] поставяме точка [tex]F[/tex] , такава че [tex]DM=MF[/tex].
Следователно четириъгълника [tex]BDCF[/tex] по определение е успоредник , тъй като точка [tex]M[/tex] разполовява диагоналите му [tex]BC , DF[/tex]
[tex]\Rightarrow CD=BF ; CD||BF[/tex]
През точка [tex]A[/tex] построявам права успоредна на [tex]CD[/tex] и точка [tex]E[/tex] на нея , такава че [tex]AE=CD[/tex]
Следователно четириъгълника [tex]AECD[/tex] е успоредник по определение , [tex]\Rightarrow \angle EAC= \angle ACD =\alpha[/tex] като кръстни.
[tex]AE|| CD||BF ; AE=BF \Rightarrow ABFE[/tex] е успоредник по определение , но [tex]AB=AE \Rightarrow ABFE[/tex] е ромб.
[tex]AF[/tex] е диагонал в ромба [tex]ABFE \Rightarrow \angle EAF=\angle BAF=2\alpha[/tex] по теорема свойство( диагоналите в ромба са ъглополовящи на ъглите му)
[tex]\Rightarrow \angle CAD=\angle EAD-\angle EAC=2\alpha -\alpha =\alpha \Rightarrow \triangle ACD[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow AD=CD[/tex]
Нека [tex]AN ; N\in BC[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BAD \Rightarrow \angle BAN=\angle DAN =\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle NAC= \angle NCA=2\alpha \Rightarrow \triangle ACN[/tex] е равнобедрен
[tex]\Rightarrow \triangle AND \cong \triangle CND[/tex] по 3-ти признак
[tex]\Rightarrow \angle ADN=\angle CDN[/tex] като СЕЕТ
От [tex]\triangle ADC \Rightarrow \angle ADC =180^\circ -2\alpha \Rightarrow \angle ADN=\angle CDN=\frac{360^\circ-(180^\circ-2\alpha)}{2}=90^\circ+\alpha[/tex]
[tex]\triangle ABN \cong \triangle ADN[/tex] по 1-ви признак ([tex]AB=AD ; \angle BAN=\angle DAN=\alpha ; AN[/tex]- обща)
[tex]\Rightarrow \angle ABN=\angle ADN=90^\circ+\alpha[/tex] като СЕЕТ
[tex]\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB=180^\circ \Rightarrow 90^\circ+\alpha + 3\alpha +2\alpha =180^\circ \Rightarrow \alpha=15^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle BAC=3\alpha =45^\circ ; \angle ACB=2\alpha =30^\circ ; \angle ABC=90^\circ+\alpha=105^\circ[/tex]