Лице на триъгълник чрез радиуса на външно вписана окръжност

[Меди]

Външно вписаната в триъгълник $ABC$ окръжност допира страната му $BC$ в точка $A_1$ и продълженията на страните му $AC$ и $AB$ съответно в точките $B_1$ и $C_1$. Да се докаже, че $S_{\triangle ABC}=r_a\left(p-a\right)$, където $r_a$ е радиусът на външно вписаната окръжност.

[math10.com]

zs.png (52.53 KiB) Прегледано 1374 пъти

[tex]\triangle BA_1E \cong BC_1E \Rightarrow BA_1=BC_1=x ; S_{BC_1E}=S_{BA_1E}[/tex]
[tex]\triangle CA_1E \cong CB_1E \Rightarrow CA_1=CB_1=y ; S_{CA_1E}=S_{CB_1E}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{BC_1EB_1C}=S_{BC_1E}+S_{BA_1E}+S_{CA_1E}+S_{CB_1E}=2(S_{BA_1E}+S_{CA_1E})=2S_{BEC}=2\frac{ar_a}{2}=ar_a[/tex]
[tex]S_{AB_1EC_1}=S_{AB_1E}+S_{AC_1E}=\frac{(b+y)r_a}{2}+\frac{(c+x)r_a}{2}=\frac{(b+c+x+y)r_a}{2}=\frac{(a+b+c)r_a}{2}=pr_a[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ABC}=S_{AB_1EC_1}-S_{BC_1EB_1C}=pr_a-ar_a=(p-a)r_a[/tex]