Триъгълна пирамида и конус

[nikola.topalov]

Лицето на основата [tex]ABC[/tex] на правилната триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] е [tex]\frac{3\sqrt{3}}{8}[/tex]. Околните ръбове на пирамидата имат дължини, равни на [tex]\sqrt{3}+1[/tex]. През точка [tex]B[/tex] е прекарана равнина [tex]\alpha[/tex], успоредна на ръба [tex]AC[/tex] и сключваща с равнината на основата на пирамидата ъгъл с големина [tex]15^\circ[/tex]. Да се намери обемът на конуса с връх центъра на описаната около [tex]ABCD[/tex] сфера и основа сечението на сферата с [tex]\alpha[/tex], при условие че точка [tex]D[/tex] и пробода на височината на пирамидата през върха [tex]D[/tex] с [tex]\alpha[/tex] лежат в едно и също полупространство спрямо равнината на основата на пирамидата.

[nikola.topalov]

Моето решение:

Скрит текст: покажи

Нека [tex]O[/tex] е ортогоналната проекция на върха [tex]D[/tex] върху основата на пирамидата и [tex]H=BO\cap AC[/tex]. Избираме точка [tex]M\in BH[/tex], такава че [tex]ABCM[/tex] е вписан. Понеже [tex]BO=OM[/tex], то и [tex]AD=MD=\sqrt{3}+1[/tex]. От условието намираме последователно [tex]AB=\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex] и [tex]BO=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], а оттам и [tex]\sphericalangle DBO=75^\circ[/tex]. Нека [tex]P\in DO:\sphericalangle PBO=15^\circ[/tex]. През пресечната точка на правите [tex]BP[/tex] и [tex]DH[/tex] прекарваме права, успоредна на [tex]AC[/tex], която пресича описаната около пирамидата сфера в точките [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex]. Очевидно, [tex]DH[/tex] разполовява [tex]XY[/tex]. Нека [tex]BP[/tex] пресича сферата за втори път в точката [tex]K[/tex]. Основата на конуса от условието е окръжността, описана около четириъгълника [tex]BXKY[/tex]. Понеже [tex]DH[/tex] разполовява [tex]XY[/tex] и [tex]BK\perp XY[/tex], то диаметър на тази окръжност е [tex]BK[/tex]. От друга страна, центърът [tex]Z[/tex] на описаната около пирамидата сфера съвпада с центъра на описаната около [tex]\triangle BMD[/tex] окръжност. И така сведохме задачата до намиране на елементи в равнобедрения [tex]\triangle BMD[/tex]. Лесно намираме [tex]BK=2[/tex] и разстоянието [tex]d(Z,BK)=1[/tex], което всъщност е височината в конуса, откъдето за обема на конуса имаме [tex]V=\frac{\pi}{3}[/tex].

[S.B.]

Без заглавие - 2021-08-13T214723.820.png (318.33 KiB) Прегледано 434 пъти

Пирамидата е правилна и върхът $D$ се проектира върху медицентъра $O$ на основата $ABC$.Продължението на $DO$ пробожда сферата в т.[tex]D_{1 }[/tex] и [tex]D D_{1 }[/tex] е диаметър на сферата.
Нека $a$ е основният ръб на пирамидата:
[tex]S_{ABC } = \frac{3 \sqrt{3} }{8} = \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4} \Rightarrow a^{2}= \frac{3}{2} \Rightarrow a = \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex]
$BK$ е медиана в основата [tex]\Rightarrow BK = a \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{ \sqrt{6} }{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{3 \sqrt{2} }{4},OB = \frac{2}{3}BK \Rightarrow OB = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]

Построявам правите: [tex]l \begin{cases} l z B \\ l || AC \end{cases} , p \begin{cases} p z B \\ \angle (p,BK) = 15 ^\circ \end{cases}[/tex]
Построявам равнината [tex]\alpha[/tex] по пресичащите се прави $l$ и $p$
$p$ пробожда сферата в т.[tex]B_{1 }[/tex] и равнината [tex]\alpha[/tex] пресича сферата в окръжност с диаметър [tex]B B_{1 }[/tex]
Пресичам сферата с равнина през пресичащите се прави $KB$ и $OD$
От [tex]\triangle OBD \rightarrow \cos \angle OBD =\displaystyle \frac{OB}{BD} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ \sqrt{3} + 1 } = \displaystyle \frac{ \sqrt{2}( \sqrt{3} - 1) }{4}[/tex]
Но [tex]\cos 75 ^\circ = \cos(45 ^\circ + 30 ^\circ) = \cos 45 ^\circ \cos30 ^\circ -\sin45 ^\circ \sin30 ^\circ = \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{1}{2} = \frac{ \sqrt{2} }{4} ( \sqrt{3} - 1)[/tex]
Получихме,че [tex]\cos \angle OBD = \cos75 ^\circ \Rightarrow \angle OBD = 75 ^\circ \Rightarrow \angle ODB = 15 ^\circ[/tex]
[tex]D D_{1 }[/tex] е диаметър на сечението [tex]\Rightarrow \triangle D D_{1 }B[/tex] е правоъгълен и [tex]DS = S D_{1 } = SB = R[/tex]
[tex]\triangle DSB[/tex] е равнобедрен ,[tex]\angle DSB = 150 ^\circ ,DB = \sqrt{3} + 1[/tex]
Прилагам Косинусова теорема:
[tex]( \sqrt{3} + 1)^{2} = R^{2} + R^{2} - 2.R.R.\cos150 ^\circ \Leftrightarrow ( \sqrt{3} + 1) ^{2 } = 2 R^{2}(1 + \frac{ \sqrt{3} }{2}) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]3 + 2 \sqrt{3} + 1 = 2 R^{2} \frac{2 + \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow 2(2 + \sqrt{3}) = R^{2} (2 + \sqrt{3}) \Rightarrow R^{2} = 2 \Rightarrow R = \sqrt{2}[/tex]
[tex]\angle KB B_{1 } = 15 ^\circ , \angle SBD = 15 ^\circ[/tex]
[tex]\angle B_{1 }BS = \angle KBD - ( \angle KB B_{1 } + \angle SBD) \Leftrightarrow \angle B_{1 }BS = 75 ^\circ - 30 ^\circ \Rightarrow \angle B_{1 }BS = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle B_{1 }BS[/tex] е равнобедрен правоъгълен с катети [tex]SB = S B_{1 } = R = \sqrt{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow SH = BH = B_{1 }H = 1[/tex]
За конуса получихме $r = h = 1$
[tex]\Rightarrow V = \frac{ \pi. r^{2}.h }{3} \Leftrightarrow V = \frac{ \pi .1.1}{3} \Rightarrow V = \frac{ \pi }{3}[/tex]