Тетраедър и сфера

[nikola.topalov]

За основата [tex]ABC[/tex] на тетраедъра [tex]ABCM[/tex] е известно, че [tex]AB=2\sqrt{3}[/tex], [tex]BC=\sqrt{7}[/tex] и [tex]AC=1[/tex]. Околната стена [tex]ABM[/tex] е перпендикулярна на равнината на основата и [tex]AM=BM[/tex]. Да се намери разстоянието между правите [tex]BM[/tex] и [tex]AC[/tex], при условие че [tex]\triangle ABM[/tex] е тъпоъгълен и радиуса на описаната около тетраедъра сфера е [tex]2\sqrt{2}[/tex].

[S.B.]

За основата [tex]ABC[/tex] на тетраедъра [tex]ABCM[/tex] е известно, че [tex]AB=2\sqrt{3}[/tex], [tex]BC=\sqrt{7}[/tex] и [tex]AC=1[/tex]. Околната стена [tex]ABM[/tex] е перпендикулярна на равнината на основата и [tex]AM=BM[/tex]. Да се намери разстоянието между правите [tex]BM[/tex] и [tex]AC[/tex], при условие че [tex]\triangle ABM[/tex] е тъпоъгълен и радиуса на описаната около тетраедъра сфера е [tex]2\sqrt{2}[/tex].

Без заглавие - 2021-08-15T183240.684.png (474.41 KiB) Прегледано 516 пъти

За да намеря разстоянието между $BM$ и $AC$ ще използвам формулата за обем на произволен тетраедър:
$$V = \frac{1}{3}l.S' $$
където в нашия случай $l = BM$,а $S'$ е перпендикулярното за $BM$ сечение,което преминава през $AC$
[tex]S' = S_{ACP } = \frac{AC.PK}{2}[/tex] и в нашият случай $PK$ е търсеното разстояние между ръбовете $AC$ и $BM$
Ще разгледам основата [tex]\triangle ABC[/tex]:
Прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \gamma = \frac{ AB^{2} - AC^{2} - BC^{2} }{- 2.AC.BC} \Leftrightarrow \cos \gamma = \frac{12 - 1 - 7}{- 2.1. \sqrt{7} } \Rightarrow \cos \gamma = \frac{-2 \sqrt{7} }{7} \Rightarrow \sin \gamma = \frac{ \sqrt{21} }{7}[/tex]
Прилагам Синусова теорема:
[tex]\displaystyle\frac{AB}{\sin \gamma } = 2 r_{1 } \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2 \sqrt{3} }{\displaystyle \frac{ \sqrt{21} }{7} } = 2 r_{1 } \Rightarrow r_{1 } = \sqrt{7}[/tex]
[tex]\triangle ABC[/tex] е тъпоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] центъра на описаната окръжност [tex]O_{1 }[/tex],която равнината на триъгълника отсича от сферата лежи извън триъгълника, а [tex]r_{1 }[/tex] е радиусът на тази окръжност.
От [tex]\triangle AOO_{1 }[/tex] където т.$O$ е центърът на сферата намираме разстоянието от центъра [tex]O_{1 }[/tex] на сечението и центъра на сферата т.$O$ по Питагорова теорема:
[tex]d^{2} = R^{2} - r_{1 } ^{2} \Leftrightarrow d = \sqrt{8 - 7} \Rightarrow d = 1[/tex]
[tex]d= 1[/tex] е и разстоянието от $AB$ до центъра [tex]O_{2 }[/tex] на описаната около стената $ABM$ окръжност,която стената $ABM$ отсича от сферата
За [tex]\triangle ABM[/tex]:
От [tex]\triangle O_{2 }BH \rightarrow r_{2 } = \sqrt{1 + 3} \Rightarrow r_{2 } = 2[/tex]
Прилагам Синусова теорема за [tex]\triangle ABM[/tex]
[tex]\frac{AB}{\sin \angle AMB} = 2 r_{2 } \Leftrightarrow \frac{2 \sqrt{3} }{\sin \angle AMB} = 4 \Rightarrow \sin \angle AMB = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow \angle AMB = 60 ^\circ[/tex] и [tex]AM = BM \Rightarrow \triangle ABM[/tex] е равностранен и [tex]AB = BM = MA = 2 \sqrt{3},MH = 3[/tex]
[tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3}. S_{ABC }.MH[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{1}{2}.AC.BC.\sin \gamma = \frac{1}{2}.1. \sqrt{7}. \frac{ \sqrt{21} }{7} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3} \frac{ \sqrt{3} }{2}.3 = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
Но [tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3}.BM.S' = \frac{2 \sqrt{3} }{3} S'[/tex]
Получихме,че [tex]\frac{2 \sqrt{3} }{3}.S' = \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow S' = \frac{3}{4}[/tex]
[tex]S'= \frac{AC.PK}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}= \frac{1.PK}{2} \Rightarrow PK = \frac{3}{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

Дано не съм оплела сметките някъде!

[nikola.topalov]

За основата [tex]ABC[/tex] на тетраедъра [tex]ABCM[/tex] е известно, че [tex]AB=2\sqrt{3}[/tex], [tex]BC=\sqrt{7}[/tex] и [tex]AC=1[/tex]. Околната стена [tex]ABM[/tex] е перпендикулярна на равнината на основата и [tex]AM=BM[/tex]. Да се намери разстоянието между правите [tex]BM[/tex] и [tex]AC[/tex], при условие че [tex]\triangle ABM[/tex] е тъпоъгълен и радиуса на описаната около тетраедъра сфера е [tex]2\sqrt{2}[/tex].

Без заглавие - 2021-08-15T183240.684.png

За да намеря разстоянието между $BM$ и $AC$ ще използвам формулата за обем на произволен тетраедър:
$$V = \frac{1}{3}l.S' $$
където в нашия случай $l = BM$,а $S'$ е перпендикулярното за $BM$ сечение,което преминава през $AC$
[tex]S' = S_{ACP } = \frac{AC.PK}{2}[/tex] и в нашият случай $PK$ е търсеното разстояние между ръбовете $AC$ и $BM$
Ще разгледам основата [tex]\triangle ABC[/tex]:
Прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \gamma = \frac{ AB^{2} - AC^{2} - BC^{2} }{- 2.AC.BC} \Leftrightarrow \cos \gamma = \frac{12 - 1 - 7}{- 2.1. \sqrt{7} } \Rightarrow \cos \gamma = \frac{-2 \sqrt{7} }{7} \Rightarrow \sin \gamma = \frac{ \sqrt{21} }{7}[/tex]
Прилагам Синусова теорема:
[tex]\displaystyle\frac{AB}{\sin \gamma } = 2 r_{1 } \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2 \sqrt{3} }{\displaystyle \frac{ \sqrt{21} }{7} } = 2 r_{1 } \Rightarrow r_{1 } = \sqrt{7}[/tex]
[tex]\triangle ABC[/tex] е тъпоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] центъра на описаната окръжност [tex]O_{1 }[/tex],която равнината на триъгълника отсича от сферата лежи извън триъгълника, а [tex]r_{1 }[/tex] е радиусът на тази окръжност.
От [tex]\triangle AOO_{1 }[/tex] където т.$O$ е центърът на сферата намираме разстоянието от центъра [tex]O_{1 }[/tex] на сечението и центъра на сферата т.$O$ по Питагорова теорема:
[tex]d^{2} = R^{2} - r_{1 } ^{2} \Leftrightarrow d = \sqrt{8 - 7} \Rightarrow d = 1[/tex]
[tex]d= 1[/tex] е и разстоянието от $AB$ до центъра [tex]O_{2 }[/tex] на описаната около стената $ABM$ окръжност,която стената $ABM$ отсича от сферата
За [tex]\triangle ABM[/tex]:
От [tex]\triangle O_{2 }BH \rightarrow r_{2 } = \sqrt{1 + 3} \Rightarrow r_{2 } = 2[/tex]
Прилагам Синусова теорема за [tex]\triangle ABM[/tex]
[tex]\frac{AB}{\sin \angle AMB} = 2 r_{2 } \Leftrightarrow \frac{2 \sqrt{3} }{\sin \angle AMB} = 4 \Rightarrow \sin \angle AMB = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow \angle AMB = 60 ^\circ[/tex] и [tex]AM = BM \Rightarrow \triangle ABM[/tex] е равностранен и [tex]AB = BM = MA = 2 \sqrt{3},MH = 3[/tex]
[tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3}. S_{ABC }.MH[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{1}{2}.AC.BC.\sin \gamma = \frac{1}{2}.1. \sqrt{7}. \frac{ \sqrt{21} }{7} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3} \frac{ \sqrt{3} }{2}.3 = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
Но [tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3}.BM.S' = \frac{2 \sqrt{3} }{3} S'[/tex]
Получихме,че [tex]\frac{2 \sqrt{3} }{3}.S' = \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow S' = \frac{3}{4}[/tex]
[tex]S'= \frac{AC.PK}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}= \frac{1.PK}{2} \Rightarrow PK = \frac{3}{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

Дано не съм оплела сметките някъде!

Перпендикулярното сечение няма как да минава и през [tex]A[/tex], и през [tex]C[/tex], понеже [tex]\triangle CBM \ncong \triangle ABM[/tex]. Освен това е казано, че [tex]\triangle ABM[/tex] е тъпоъгълен.

[S.B.]

Перпендикулярното сечение няма как да минава и през [tex]A[/tex], и през [tex]C[/tex], понеже [tex]\triangle CBM \ncong \triangle ABM[/tex]. Освен това е казано, че [tex]\triangle ABM[/tex] е тъпоъгълен.

Без заглавие - 2021-08-17T093525.018.png (326.92 KiB) Прегледано 468 пъти

Правилно!Ъгълът между двете кръстосани отсечки $AC$ и $BM$ не [tex]90 ^\circ \Rightarrow \sin \angle (AC,BM) \ne 1[/tex]
Ще използвам формулата:
$$V = \frac{1}{6} l.b.h.\sin \varphi $$
Където: [tex]l = MB = 2\sqrt{3} ,b = AC = 1 , h = PK, \sin \varphi = \sin \angle (AC,BM)[/tex]
За да намеря [tex]\sin \angle (AC,BM)[/tex] правя следните построения:
Построявам [tex]B C_{1 } || AC,B C_{1 } = AC[/tex] и допълвам [tex]\triangle ABC[/tex] до успоредника [tex]ACB C_{1 }[/tex]
Допълвам тетраедъра [tex]ABCM[/tex] до четириъгълната пирамида [tex]ACB C_{1 }M[/tex]
Търсеният [tex]\angle (AC,MB) = \varphi[/tex] е [tex]\angle C_{1 }BM[/tex]
Намирам медианата $CH$ от [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]CH^{2} = \frac{1}{2}(2. AC^{2} + 2. BC^{2} - AB^{2} \Leftrightarrow CH^{2} = \frac{1}{2} (2.1 + 2.7 - 12) \Leftrightarrow CH^{2} = \frac{4}{2} \Rightarrow CH = \sqrt{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow CH = C_{1 }H = \sqrt{2}[/tex]
От [tex]\triangle MH C_{1 } \rightarrow M C_{1 } = \sqrt{11}[/tex] по Питагорова теорема
За [tex]\triangle C_{1 }MB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \varphi = \frac{11 - 1 - 12}{-2.2 \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{6} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{ \sqrt{33} }{6}[/tex]
[tex]V = \frac{1}{6}.1.2 \sqrt{3}.KP. \frac{ \sqrt{33} }{6} \Rightarrow V = \frac{KP \sqrt{11} }{6}[/tex]
От[tex]\begin{cases} V = \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ V = \displaystyle \frac{KP \sqrt{11} }{6} \end{cases} \Rightarrow \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} = KP.\displaystyle \frac{ \sqrt{11} }{6} \Rightarrow KP = \displaystyle \frac{2 \sqrt{33} }{11}[/tex]
От първите чертежи е видно,че $KP$ е разстоянието,което търсим