Нестандартна задача

[filip]

Сумата и произведението на десет естествени числа е едно и също. Намерете числата.

[peyo]

Сумата и произведението на десет естествени числа е едно и също. Намерете числата.

Първо ще търсим решения от вида, ще ги кръстим Тип 2:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, a, b

$8+ a + b = ab$
$a -ab = -b -8$
$a(1 -b) = -b -8$

$a= \frac{b +8}{b-1}$

Тук търсим решение в цели числа, за а и b. Най-голямото b за което може да има цяло решение е 10, защото след 10 частното става по-малко от 2 и никога няма да стигне 1. Затова проверяваме всички числа от 1 до 10 и решение имаме за:

$b=2, a = 10$
$b=4, a = 4$
$b=10, a = 2$

Или намерихме решенията:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 2 ( sum 20)
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4 (sum 16)

(тук виждаме, че няма решения от Тип 1: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1, а)


Следваща стъпка търсим решения от вида (Тип 3):
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, a, b, c

Или ще докажем, че всички решения са само от Тип 2?!

очаквайте продължение

[pal702004]

Първо ще покажем, че не-единиците са не повече от 3
Нека $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_{10}$ и

$a_1+a_2+\cdots +a_{10}=a_1a_2\cdots a_{10}$

Делим на $a_{10}$, сбора в лявата част е не по-голям от 10, вдясно имаме произведение на 9 естествени числа, което трябва да е по-малко от 10. Значи трябва да имаме поне шест единици. Ако са точно шест, то при делене на $a_{10} \ge 2$, лявата част е не по-голяма от 6, а дясната $a_7\cdot a_8\cdot a_9 \ge 8$ - не става. Следователно не-единиците са или две, или три, като при три е задължително $a_8=2$
И така за две (не-единици):

$8+x+y=xy,\;\;\; (x-1)(y-1)=9$

Решения $x=2,y=10$ и $x=4,y=4$

За три:
$7+2+y+z=2yz$
$18+2y+2z=4yz$
$(2y-1)(2z-1)=19$
Жалко, 19 е просто число и не става с не-единички. Няма повече.

Нека числата са 11 на брой при същите условия.

За две не-единици имаме
$9+x+y=xy,\;\;\;(x-1)(y-1)=10$ Решения:
$(2,11);(3,6)$

За три не-единици:
$8+2+y+z=2yz$
$(2y-1)(2z-1)$=21
И тук имаме решение $y=2,z=4$