Вписан шестоъгълник

[nikola.topalov]

За вписания шестоъгълник [tex]ABCDEF[/tex] е известно, че [tex]AB=CD=EF[/tex]. Да се докаже, че триъгълникът, чиито върхове са средите на [tex]BC[/tex], [tex]DE[/tex] и [tex]FA[/tex], е равностранен.

[KOPMOPAH]

Вписан шестоъгълник.gif (795.43 KiB) Прегледано 511 пъти

Според GeoGebra триъгълникът е "почти" равностранен.

[vezni]

Задачата звучеше доста интересно, но за съжаление ...

geogebra-export.png (53.49 KiB) Прегледано 501 пъти

[KOPMOPAH]

Задачата звучеше доста интересно, но за съжаление ...
...

И на мен ми хареса задачата, но след известна борба с нея попитах GeoGebra какво мисли и виждате резултата по-горе.

[nikola.topalov]

Изпуснал съм много важно нещо от условието: [tex]AB=CD=EF=R[/tex], където [tex]R[/tex] е радиуса на описаната около шестоъгълника окръжност. Извинявам се.

[KOPMOPAH]

Изпуснал съм много важно нещо от условието: [tex]AB=CD=EF=R[/tex], където [tex]R[/tex] е радиуса на описаната около шестоъгълника окръжност. Извинявам се.

Туй е друга рабвота!

[ins-]

Виждал съм задачата и преди. Интересна е и се е появявала на много места. Това може да е от полза: https://artofproblemsolving.com/communi ... 3p23350022

[KOPMOPAH]

Костелив орех се оказа тази задача

Вписан шестоъгълник-1.png (27.94 KiB) Прегледано 393 пъти

Скицирам:

- сините ъгли са по $30°$ (ясно защо), оттам $\measuredangle DME = 120°$
- точките $I$ и $J$ са среди на $DE$ и $CD$, тогава по Талес $IJ||EC$ и $\measuredangle QIJ = ...=120°$

Вписан шестоъгълник-2.png (32.41 KiB) Прегледано 393 пъти

Външно на $\triangle KLJ$ построяваме равностранни триъгълници (тр-ци, както е прието във форума ). Тогава за точките $G$, $H$ и $I$, които са хем среди съответно на $FA$, $BC$ и $DE$, хем и центрове на външнопостроените равностранни триъгълници може да се приложи теоремата на Наполеон, откъдето следва, че $\triangle GHI$ е равностранен.

[S.B.]

Поздравления!!!