Лице на триъгълник

[filip]

М е произволна точка от страната ВС на триъгълник АВС. През върховете В и С са построени прави, успоредни на АМ, които пресичат продълженията на страните АС и АВ съответно в точки N и P. Ако лицето на триъгълник АВС е S, то колко е лицето на триъгълник MNP.

[nikola.topalov]

Ще докажем, че [tex]S_{NMP}=2S_{ABC}[/tex]. От [tex]NB\parallel PC[/tex] следва, че [tex]NBCP[/tex] е трапец, а за него знаем, че [tex]S_{NAP}=S_{ABC}[/tex]. Нека [tex]MN\cap BP=X[/tex] и [tex]MP\cap NC=Y[/tex]. Понеже [tex]AMCP[/tex] и [tex]NBMA[/tex] също са трапеци, то [tex]S_{NXA}=S_{BXM}[/tex] и [tex]S_{PYA}=S_{YMC}[/tex]. Следователно
$$\begin{array}{|l} S_{ABC} = S_{BXM}+S_{YMC}+S_{XMYA} \\ S_{NMP}=S_{NAP}+S_{NXA}+S_{PYA}+S_{XMYA}=S_{ABC}+S_{BXM}+S_{YMC}+S_{XMYA}=2S_{ABC}\end{array}$$ което означава, че [tex]S_{NMP}=2S[/tex].