Пирамида и сбор от ъгли

[ins-]

За триъгълна пирамида ABCO е известно, че <AOB+<BOC+<COA>180[tex]^\circ[/tex]. Докажете, че всяка една от отсечките OA, OB и OC има дължина, по-малка от полупериметъра на триъгълник ABC.

[drago]

За аа докажем, че това е вярно например за отсечката $OA$, построяваме разгъвка на пирамидата като правим срез по $OA$.

[ins-]

Идеята е интересна! Би ли дал повече детайли?

[drago]

Би ли дал повече детайли?

Да, ако направиш чертеж.

[ins-]

Началният чертеж трябва да е нещо такова. Малко е 2D, ама карай Това, което не разбирам е, ако направя разрез по OA - той не определя еднозначно равнина, по която да е разрязана пирамидата. Сигурно има и други трикове, които ми се губят. На мен ми се въртяха в главата истории с тристенни ъгли и ортогонални проекции, но се възстановявам от тежко прекаран Ковид и не съм много в ритъм.

[drago]

Имах предвид чертеж на развивката. Ето нещо, дето надрасках. Съжалявам, че не е по-професионално, но мисля че се разбира.
Горе е развивката. Точка $A'$ като се нагъне трябва да съвпадне с т. $A$. $A'C<AC$ защото иначе няма да стане пирамида. На долния чертеж съм извадил $\triangle A'CA$. $\angle A'>\angle A$, защото $A'C<AC$. Използва се и това че сборът от ъглите е по-голям от $180^{\circ}$.

E, картинката е малко като майката на Уислър, ама толкова.

[ins-]

По-важна е идеята и красотата на разсъжденията. Благодаря за решението! Ще се опитам да го осмисля задълбочено.

[ins-]

Успях да намеря време и да се опитам да разбера решението.

Проблемите ми идват от планиметричната част:

1. Не успях да разбера защо [tex]A'C<AC[/tex]. Предполагам,че ако се възстанови/сгъне разгъвката би могло да се ползва неравенство между страните на триъгълника.

2. Ако правилно разбирам [tex]\angle{A'} > \angle{A}[/tex] не се ползва в решението на задачата.

Видях друго решение, което успях да разбера. Може да е интересно и затова го прикачвам като картинка.

[drago]

@ins: 1) $A'C<AC$ защото в противен случай няма как да направиш пирамида от развивката. 2) $\angle A'>\angle A$ наистина е излишно.
Освен всичко това, начина по който съм я написал има още един дефект (тези два не са). Но..., това ми хрумна - това написах. Като за първо приближение е добре. Благодаря за обратната връзка. Без това нямаше да я поправя. Всичко това може да се изчисти, виж чертежа и обясненията в картинката по-долу. Означенията и конструкцията са същите, като в предния ми пост.



Единствено важното е, че точка $O$ е вътрешна за $ABCA'$, поради това че сборът от връхните ъгли на пирамидата е поне $180^{\circ}$.

[ins-]

@drago: От вторият чертеж се разбира и разсъжденията изглеждат коректни. Задачата изглежда лесна, а решението, ако е синтезирано е много късо. Реално човек трябва да има много опит и/или да е виждал нещо подобно. Ако няма опит с подобни задачи или не му хрумне нещо идейно - ситуацията става много тегава. Благодаря ти за времето, усилията и идеите по тази задача! Надявам се да ти е харесала. Извинявам се, че разбирането ми е бавно, но нещо не съм в ритъм напоследък.