Теория на числата

[Vannia_35]

Намерете последните две цифри на числото [tex]3^{20211}[/tex] (записано в десетична бройна система)

[nikola.topalov]

Търсим остатъка при делението на [tex]3^{20211}[/tex] на [tex]100[/tex]. Имаме [tex]3^{20}\equiv 1\ \mathrm{mod}\ 100[/tex] и следователно [tex]3^{20000}\equiv 1\ \mathrm{mod}\ 100[/tex]. Тогава [tex]3^{20200}\equiv 3^{200}\equiv 1\ \mathrm{mod}\ 100[/tex] и [tex]3^{20210}\equiv 3^{10}\equiv 43^2\equiv 49\ \mathrm{mod}\ 100[/tex]. Оттук получаваме, че [tex]3^{20211}\equiv 147\equiv 47\ \mathrm{mod}\ 100[/tex] и значи последните две цифри на числото са [tex]4[/tex] и [tex]7[/tex] в този ред.