Триъгълна призма

[nikola.topalov]

Дадена е права триъгълна призма [tex]ABCA_1B_1C_1[/tex], за която [tex]AB_1\perp BC_1[/tex]. Да се намери дължината на [tex]BC[/tex], ако стойността на [tex]\cos\sphericalangle BAC[/tex] е максимална и дължините на [tex]AA_1[/tex], [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex], взети в този ред, образуват растяща аритметична прогресия с разлика [tex]1[/tex].

[KOPMOPAH]

права триъгълна призма-2.png (11.91 KiB) Прегледано 938 пъти

$$BC^2=a^2+(a+1)^2-2a(a+1)\cos \alpha$$ $$AB_1=BE,~~BE^2=a^2+(a-1)^2$$ $$BC_1^2=BC^2+CC_1^2=a^2+(a+1)^2-2a(a+1)\cos \alpha+(a-1)^2$$ $$C_1E=CD,~~C_1E^2=4a^2+(a+1)^2-4a(a+1)\cos \alpha~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$ $$C_1E^2=BE^2+BC_1^2=a^2+(a-1)^2+a^2+(a+1)^2-2a(a+1)\cos \alpha+(a-1)^2= \\ =2a^2+(a+1)^2+2(a-1)^2-2a(a+1)\cos \alpha~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$Приравняваме $(1)$ и $(2)$ $$4a^2+(a+1)^2-4a(a+1)\cos \alpha=2a^2+(a+1)^2+2(a-1)^2-2a(a+1)\cos \alpha$$ $$4a^2+\cancel{(a+1)^2}-4a(a+1)\cos \alpha=2a^2+\cancel{(a+1)^2}+2(a-1)^2-2a(a+1)\cos \alpha$$ $$\cos \alpha=\frac{2a^2-2a+1}{a^2+a}$$Тук се сещаме, че по условие косинусът е максимален и търсим производната, за да я приравним на нула$$\cos'\alpha(a)=\frac{(4a-2)(a^2+a)-(2a^2-2a+1)(2a+1)}{(a^2+a)^2}=\frac{4a^2-2a-1}{(a^2+a)^2}$$ $$a_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt 5}4\Rightarrow a=\frac{1 + \sqrt 5}4$$ Щом като намерихме $a$, заместваме във формулата за косинуса и една финална косинусова теорема за $\triangle ABC$ ни дава търсеното $BC$.

[nikola.topalov]

Браво, КОРМОРАН! Между другото се получава хубава стойност за дължината на [tex]BC[/tex], а именно [tex]2[/tex].

[KOPMOPAH]

Браво, КОРМОРАН! Между другото се получава хубава стойност за дължината на [tex]BC[/tex], а именно [tex]2[/tex].

Благодаря! Ще ми се да видя и друг начин.

[S.B.]

....... Ще ми се да видя и друг начин.

Ще публикувам и моето виждане за тази задача

[S.B.]

Дадена е права триъгълна призма [tex]ABCA_1B_1C_1[/tex], за която [tex]AB_1\perp BC_1[/tex]. Да се намери дължината на [tex]BC[/tex], ако стойността на [tex]\cos\sphericalangle BAC[/tex] е максимална и дължините на [tex]AA_1[/tex], [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex], взети в този ред, образуват растяща аритметична прогресия с разлика [tex]1[/tex].

Без заглавие - 2021-12-11T073358.811.png (235.8 KiB) Прегледано 887 пъти

[tex]A A_{1 } = a -1 , AB = a ,AC = a +1 , BC = c , a> 1 , c > 0 , \angle BAC = \varphi[/tex]
Допълвам зададената триъгълна призма [tex]ABCA_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] до четириъгълната призма [tex]ABCD A_{1 } B_{1 } C_{1 } D_{1 }[/tex] където стената [tex](AD D_{1 } A_{1 }) || (BC C_{1 } B_{1 }) \Rightarrow B C_{1 }|| A D_{1 }[/tex]
Тогава от [tex]\begin{cases} A B_{1 } \bot B C_{1 } \\ B C_{1 } || A D_{1 } \end{cases} \Rightarrow A B_{1 } \bot A D_{1 } \Rightarrow \triangle A B_{1 } D_{1 }[/tex] е правоъгълен и [tex]\Rightarrow B_{1 } D_{1 } ^{2 } = A D_{1 } ^{2 } + A B_{1 } ^{2 }[/tex]
От [tex]\triangle AD D_{1 } \rightarrow A D_{1 } ^{2 } = AD^{2 } + D D_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow A D_{1 } ^{2 } = c^{2 } + (a - 1)^{2 }[/tex]
От [tex]\triangle AB B_{1 } \rightarrow A B_{1 } ^{2 } = a^{2 } + (a - 1)^{2 }[/tex]
Тогава [tex]B_{1 } D_{1 } ^{2 } = c^{2 } + a^{2 } + 2 (a - 1)^{2 }[/tex] но [tex]B_{1 } D_{1 } = BD \Rightarrow BD^{2 } = c^{2 } + a^{2 } + 2 (a - 1)^{2 }[/tex]
За успоредника [tex]ABCD[/tex] е изпълнено:
[tex]AC^{2 } + BD^{2 } = 2 AB^{2 } + 2 BC^{2 } \Leftrightarrow (a + 1)^{2 } + c^{2 } + a^{2 } + 2 (a - 1)^{2 } = 2 a^{2 } + 2 c^{2 } \Leftrightarrow[/tex]
[tex](a + 1)^{2 } + 2 (a - 1)^{2 } = a^{2 } + c^{2 } \Rightarrow[/tex]
$$ c^{2 } = 2 a^{2 } - 2a + 3 $$

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]BC^{2 } = AB^{2 } + AC^{2 } - 2.AB.AC.\cos \angle BAC \Leftrightarrow[/tex]
$$c^{2 } = a^{2 } + (a + 1)^{2 } - 2.a.(a + 1).\cos \varphi $$
Приравнявам двата израза за [tex]c^{2 }[/tex] и получавам:
[tex]2 a^{2 } - 2a + 3 = a^{2 } + (a + 1)^{2 } - 2.a.(a + 1).\cos \varphi \Leftrightarrow -4a + 2 = -2a(a + 1) \cos \varphi \Rightarrow[/tex]
$$\cos \varphi = \frac{2a - 1}{ a^{2 } + a }$$
По условие [tex]\cos \varphi[/tex] има максимална стйност ,т.е. [tex]\cos \varphi[/tex] е функция на $a$ нейната първа производна има стойност $0$
[tex]\cos' \varphi (a) = \frac{(2a - 1)')( a^{2 } + a) - ( a^{2 }+a)'(2а - 1) }{ ( а^{2 } + а) ^{2 } } = \frac{2 a^{2 } + 2a - 4 a^{2 } + 1 }{ a^{2 } (a + 1)^{2 } } = \frac{-2 a^{2 } + 2a + 1 }{ a^{2 } (a + 1)^{2 } } = 0[/tex]
[tex]- 2a^{2 } + 2a + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 a^{2 } - 2a - 1 = 0 ,D = 12 , a_{1,2 } = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3} }{4}[/tex]
От Д.М. $a > 1$ [tex]\Rightarrow a = \frac{1 + \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]c^{2 } = 2 a^{2 } - 2a + 3= 2 ( \frac{1 + \sqrt{3} }{2} )^{2 } - 2. \frac{1 + \sqrt{3} }{2} + 3 =4 \Rightarrow c = 2[/tex]
$$BC = 2$$

Скрит текст: покажи

Предполагам,че различието в отговорите на колегата KOPMOPAH и моите се дължи на техническа грешка.Не виждам друга причина

[S.B.]

Уважаеми колега nikola.topalov ,
На 07.12.21021 г. в 18:30 Вие публикувахте в раздел "Задача на седмицата" темата "Триъгълна призма",за която се предполагаше от името на раздела в който е публикувана ,че ще престои там поне седмица.
Нищо подобно !На 11.12.2021 г. в 01:45 - само близо 4 дни след публикуването на темата ,Вие я сменяте с друга.Искам да отбележа,че не е имало слаб интерес към тази тема,защото на 10.12.2021 г. в 18:20 колегата KOPMOPAH публикува своето решение,с мнението,че очаква да види и други решения на тази задача.На 11.12. 2021 г.в 11:38 - по- малко от 24 часа след публикацията на KOPMOPAH ,аз публикувах своето решение,различно от решението на KOPMOPAH, но Вие вече бяхте свалили задачата от раздел "Задача на седмицата" като по този начин пресекохте възможността да се видят различните мнения по тази задача , без дори да е изтекла една седмица от публикуването ѝ!Да не говорим за това,че по неписано правило във форума ,беше редно да видим и Вашето решение на задачата, както и по възможност произхода или поне авторите ѝ!Опитайте се в бъдеще да бъдете коректен към колегите си от форума!

[nikola.topalov]

Уважаеми колега nikola.topalov, ...

Приемам критиката. Относно задачите - повечето са авторски, случвало ми се е да забравям да кача решение, но ако е верен Вашият отговор, ще харесам мнението.