Стереометрия - екстремална задача

[nikola.topalov]

Радиусът на вписаната в тетраедър сфера е [tex]r[/tex], а радиусите на окръжностите, вписани във всяка една от стените му, са [tex]r_1[/tex], [tex]r_2[/tex], [tex]r_3[/tex] и [tex]r_4[/tex]. Докажете, че $$\sum_{i=1}^{4}\dfrac{1}{r_i^2}\leq\dfrac{2}{r^2}$$

[ins-]

Задачата е красива, но може да се наложат доста писане и сметки. Предлагана е в Crux през 1994 г. Никой не е дал пълно решение и публикуват това на автора: https://cms.math.ca/wp-content/uploads/ ... 08_Oct.pdf (стр. 288, зад. 1990). Аз имах идеи чрез формулите тук: https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron да се изразят двете страни на неравенството само чрез страните на тетраедъра, но пак иска доста сметки и писане. Ако някой има по-кратко/красиво решение може да го публикува.