Призма - ъгъл между равнини

[nikola.topalov]

Дадена е права триъгълна призма [tex]ABCA_1B_1C_1[/tex], за която [tex]AB=\sqrt{3}[/tex], [tex]BC=\sqrt{7}[/tex] и [tex]AC=2[/tex]. Нека [tex]M[/tex], [tex]N[/tex] и [tex]P[/tex] са средите на ръбовете [tex]AB[/tex], [tex]CC_1[/tex] и [tex]A_1C_1[/tex]. Да се намери косинусът на ъгъла, който сключват помежду си равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](MNP)[/tex], ако диаметъра на описаната около призмата сфера е [tex]\sqrt{11}[/tex].

[S.B.]

Дадена е права триъгълна призма [tex]ABCA_1B_1C_1[/tex], за която [tex]AB=\sqrt{3}[/tex], [tex]BC=\sqrt{7}[/tex] и [tex]AC=2[/tex]. Нека [tex]M[/tex], [tex]N[/tex] и [tex]P[/tex] са средите на ръбовете [tex]AB[/tex], [tex]CC_1[/tex] и [tex]A_1C_1[/tex]. Да се намери косинусът на ъгъла, който сключват помежду си равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](MNP)[/tex], ако диаметъра на описаната около призмата сфера е [tex]\sqrt{11}[/tex].

Без заглавие - 2022-01-07T070625.435.png (336.67 KiB) Прегледано 825 пъти

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема и получавам:
[tex]\cos \angle A = \frac{7 - 4 - 3}{-2.2. \sqrt{3} } = 0 \Rightarrow \angle A = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е правоъгълен
Призмата [tex]ABC A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] е триъгълна,права и основите ѝ са правоъгълни триъгълници[tex]\Rightarrow[/tex] голямата окръжност на описаната около призмата сфера е описана около стената [tex]BCC_{1 } B_{1 }[/tex],която е правоъгълник с диагонал [tex]CB_{1 } = 2R = \sqrt{11}[/tex] и основа [tex]BC = \sqrt{7} \Rightarrow[/tex] височината на призмата [tex]BB_{1 } = 2[/tex] ( според Питагоровата теорема)
[tex]PN \cap AC = Q \Rightarrow MQ[/tex] се явява пресечница на равнините $(MNP)$ и $(ABC)$
[tex]\triangle PN C_{1 } \cong \triangle CQN \Rightarrow CQ = P C_{1 } = \frac{1}{2} A_{1 } C_{1 } = 1[/tex]
Построявам последователно [tex]P P_{1 } \bot AC , P_{1 } P_{2 } \bot MQ[/tex]
[tex]P_{1 } P_{2 }[/tex] е проекция на [tex]PP_{2 }[/tex] и по теоремата за трите перпендикуляра [tex]PP_{2 } \bot MQ \Rightarrow \angle P_{1 } P_{2 }P = \varphi[/tex] е търсеният ъгъл между равнините $(MNP)$ и $(ABC)$
За [tex]\triangle AMQ[/tex],правоъгълен ,по Питагор получавам [tex]MQ^{2 } = MA^{2 } + AQ^{2 } = \frac{3}{4} + 9 = \frac{39}{4} \Rightarrow MQ = \frac{ \sqrt{39} }{2}[/tex]
[tex]\triangle AMQ \approx \triangle P_{1 } P_{2 }Q[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{ P_{1 }Q }{MQ} = \displaystyle\frac{ P_{1 } P_{2 } }{AM} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{ \displaystyle\frac{ \sqrt{39} }{2} } = \displaystyle \frac{ P_{1 } P_{1 } }{\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} } \Rightarrow P_{1 } P_{2 } = \frac{2 \sqrt{13} }{13}[/tex]
За [tex]\triangle P P_{1 } P_{2 }[/tex] по Питагор получавам [tex]PP_{2 } = \frac{2 \sqrt{13} \sqrt{14} }{13}[/tex]
[tex]\cos \varphi = \displaystyle\frac{ P_{1 } P_{1 } }{P P_{2 } } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2 \sqrt{13} }{13} }{\displaystyle \frac{2 \sqrt{13} \sqrt{14} }{13} } \Rightarrow[/tex]
$$\cos \varphi = \frac{ \sqrt{14} }{14} $$

Скрит текст: покажи

Може и да съм оплела някъде сметките

[KOPMOPAH]

Поздравления!
В моето решение намерих, че основата е правоъгълен триъгълник по Питагоровава теорема.