Максимален обем на пирамида

[nikola.topalov]

Дадена е четириъгълна пирамида [tex]ABCDM[/tex] (с основа [tex]ABCD[/tex] и връх [tex]M[/tex]), около която може да се опише сфера. Известно е, че [tex]AD=DM=BM=\sqrt{3}[/tex], [tex]BC=3[/tex] и [tex]AB\perp AD[/tex]. Равнината [tex](BDM)[/tex] е перпендикулярна на равнината на основата на пирамидата. Да се намери лицето на повърхнината на сферата, при което обемът на пирамидата е максимален.

Скрит текст: покажи

Отг.: [tex]S=\dfrac{8}{3}\pi(4+\sqrt{7})[/tex]

[nikola.topalov]

Разбира се, пускам и моето решение: Пирамидата е вписана в сфера и следователно основата ѝ е вписана в окръжност. От [tex]AB\perp AD[/tex] следва, че центърът [tex]O[/tex] на тази окръжност е средата на диагонала [tex]BD[/tex]. Условието подсказва, че височината на пирамидата се съдържа в равнината [tex](BDM)[/tex], но тъй като [tex]\triangle DBM[/tex] е равнобедрен (по условие), то ортогоналната проекция на върха [tex]M[/tex] на пирамидата съвпада с точка [tex]O[/tex]. Имаме [tex]\triangle AOM\cong\triangle BOM\cong\triangle COM\cong\triangle DOM[/tex], следователно всички околни ръбове на пирамидата са равни. Това означава, че центърът на описаната около нея сфера [tex]Z[/tex] лежи на правата [tex]OM[/tex]. Да отбележим също така, че [tex]DB>3[/tex], т.е. [tex]\triangle DBM[/tex] е тъпоъгълен и следователно [tex]Z[/tex] лежи извън пирамидата. Нека [tex]MZ[/tex] пресича сферата за втори път в точка [tex]N[/tex] и с [tex]R[/tex] си означим нейния радиус.

geogebra-export (14).png (101.9 KiB) Прегледано 889 пъти

Имаме, че [tex]\sphericalangle NBM=90^\circ[/tex], откъдето $$NM\times OB=BN\times BM\Leftrightarrow OB=\dfrac{\sqrt{12R^2-9}}{2R}\Leftrightarrow DB=\dfrac{\sqrt{12R^2-9}}{R}$$ Оттук с Питагорова теорема намираме $$AB=\dfrac{3\sqrt{R^2-1}}{R}\ и\ CD=\dfrac{\sqrt{3R^2-9}}{R}$$ Лицето [tex]B[/tex] на основата изразяваме като сбор от лицата на двата правоъгълни триъгълника, от които е съставен: $$B=\dfrac{3\sqrt{3R^2-3}}{2R}+\dfrac{3\sqrt{3R^2-9}}{2R}$$ Отделно пресмятаме [tex]OM=\dfrac{3}{2R}[/tex] и тогава за обема на пирамидата [tex]V[/tex] получаваме $$V=\dfrac{B\times OM}{3}=\dfrac{3}{4R^2}(\sqrt{3R^2-3}+\sqrt{3R^2-9})$$ Нека [tex]t=3R^2>9[/tex] (защото [tex]R>\sqrt{3}[/tex]) и $$f(t)=\dfrac{\sqrt{t-3}+\sqrt{t-9}}{t}$$ Намираме първата производна на функцията: $$f'(t)=\dfrac{(\sqrt{t-3}+\sqrt{t-9})(t-2\sqrt{(t-9)(t-3)})}{2t^2\sqrt{(t-9)(t-3)}}$$ която се анулира за [tex]t=2(4\pm\sqrt{7})[/tex]. Оказва се, че за [tex]t=2(4+\sqrt{7})>9[/tex] функцията достига своя максимум, следователно и [tex]3R^2=2(4+\sqrt{7})[/tex]. Окончателно лицето [tex]S[/tex] на повърхнината на сферата, при което обемът на пирамидата е максимален, пресмятаме [tex]S=4\pi R^2=\dfrac{8}{3}\pi(4+\sqrt{7})[/tex].