Триъгълна призма

[S.B.]

Основата на призмата [tex]ABC A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] е равнобедрен [tex]\triangle ABC (AB = AC)[/tex].Дължината на околния ръб [tex]AA_{1 }[/tex] е равна на $b$ .Този ръб е наклонен към равнината на основата под ъгъл [tex]\beta[/tex], а върхът [tex]A_{1 }[/tex] се проектира ортогонално в средата на основния ръб $BC$.Двустенният ъгъл с ръб [tex]AA_{1 }[/tex] е равен на [tex]\alpha[/tex]. Определете околната повърхнина и обема на призмата.

[KOPMOPAH]

Триъгълна призма с основа равнобедрен триъгълник.png (12.5 KiB) Прегледано 1073 пъти

Моят чертеж е моето поздравление за S.B. за задачата, както и за всички ценители на изчезващото изкуство стереометрия.

[nikola.topalov]

Нека средата на [tex]BC[/tex] е [tex]D[/tex]. По условие [tex]D[/tex] е ортогоналната проекция на [tex]A_1[/tex] върху равнината [tex](ABC)[/tex] и следователно ъгълът между [tex]AA_1[/tex] и тази равнина е [tex]\sphericalangle DAA_1=\beta[/tex]. Построяваме [tex]BH\perp AA_1[/tex] ([tex]H\in AA_1[/tex]). Тогава и [tex]CH\perp AA_1[/tex], защото [tex]\triangle ABA_1\cong\triangle ACA_1[/tex]. И така [tex]AA_1[/tex] е перпендикулярна на две прави от равнината [tex]BCH[/tex], т.е. и на цялата равнина и следователно на всяка права от нея. Това означава, че [tex]DH[/tex] играе роля на височина в правоъгълния [tex]\triangle ADA_1[/tex]. Намираме последователно [tex]A_1D=b\sin\beta[/tex] и [tex]DH=b\sin\beta\cos\beta[/tex], а оттук вече можем да пресметнем и лицето на [tex]\triangle BCH[/tex]. Имаме $$BC=2b\sin\beta\cos\beta\tg\dfrac{\alpha}{2}$$ откъдето за лицето получаваме $$S_{BCH}=b^2\sin^2 \beta\cos^2 \beta\tg\dfrac{\alpha}{2}$$ Да разгледаме сега пирамидата [tex]ABCA_1[/tex]. От една страна $$V_{ABCA_1}=\dfrac{1}{3}A_1D\times S_{ABC}=\dfrac{1}{3}b\sin\beta S_{ABC}$$ но от друга страна $$V_{ABCA_1}=V_{ABCH}+V_{HBCA_1}=\dfrac{1}{3}AA_1\times S_{BCH}=\dfrac{1}{3}b^3\sin^2 \beta\cos^2 \beta\tg\dfrac{\alpha}{2}$$ откъдето след изравняне получаваме $$S_{ABC}=b^2\sin\beta\cos^2\beta\tg\dfrac{\alpha}{2}$$ Следователно обемът на призмата е $$V_{ABCA_1B_1C_1}=A_1D\times S_{ABC}=b^3\sin^2\beta\cos^2\beta\tg\dfrac{\alpha}{2}$$

geogebra-export (20).png (113.21 KiB) Прегледано 1064 пъти

Дотук добре. Знаем, че [tex]AD=b\cos\beta[/tex] и следователно $$S_{ABC}=b^2\sin\beta\cos^2\beta\tg\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}b\cos\beta\times BC$$ откъдето намираме $$BC=2b\sin\beta\cos\beta\tg\dfrac{\alpha}{2}\Rightarrow BD=b\sin\beta\cos\beta\tg\dfrac{\alpha}{2}\Rightarrow AB=b\cos\beta\sqrt{1+\sin^2\beta\tg^2\dfrac{\alpha}{2}}$$ Построяваме [tex]DE\perp AB[/tex] ([tex]E\in AB[/tex]) и следователно [tex]A_1E\perp AB[/tex] според теоремата за трите перпендикуляра. Намираме $$DE=\dfrac{b\sin\beta\cos\beta\tg\dfrac{\alpha}{2}}{\sqrt{1+\sin^2\beta\tg^2\dfrac{\alpha}{2}}}$$ от правоъгълния [tex]\triangle ABD[/tex], а оттам и $$A_1E=\dfrac{b\sin\beta}{\cos\dfrac{\alpha}{2}\sqrt{1+\sin^2\beta\tg^2\dfrac{\alpha}{2}}}$$ от правоъгълния [tex]\triangle EDA_1[/tex]. Нататък вече е ясно. Намираме $$S_{ABB_1A_1}=2S_{ABA_1}=\dfrac{b^2\sin\beta\cos\beta}{\cos\dfrac{\alpha}{2}}$$ и $$S_{BCC_1A_1}=BB_1\times BC=2b^2\sin\beta\cos\beta\tg\dfrac{\alpha}{2}$$ За околната повърхнина на призмата окончателно получаваме $$S_1=2b^2\sin\beta\cos\beta\tg\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{2b^2\sin\beta\cos\beta}{\cos\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{b^2\sin 2\beta\left(1+\sin\dfrac{\alpha}{2}\right)}{\cos\dfrac{\alpha}{2}}$$
Дано не съм оплел сметките някъде.

[S.B.]

Моят чертеж е моето поздравление за S.B. за задачата, както и за всички ценители на изчезващото изкуство стереометрия.

Благодаря сърдечно!

[S.B.]

Основата на призмата [tex]ABC A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] е равнобедрен [tex]\triangle ABC (AB = AC)[/tex].Дължината на околния ръб [tex]AA_{1 }[/tex] е равна на $b$ .Този ръб е наклонен към равнината на основата под ъгъл [tex]\beta[/tex], а върхът [tex]A_{1 }[/tex] се проектира ортогонално в средата на основния ръб $BC$.Двустенният ъгъл с ръб [tex]AA_{1 }[/tex] е равен на [tex]\alpha[/tex]. Определете околната повърхнина и обема на призмата.

Без заглавие - 2022-01-20T214152.976.png (478.77 KiB) Прегледано 977 пъти

Моето решение
т.$D$ е ортогоналната проекция на [tex]A_{1 }[/tex] върху $BC$
[tex]PB\bot A A_{1 } ,PC \bot AA_{1 } \Rightarrow A A_{1 } \bot (PBC) \Rightarrow \triangle PCB[/tex] е сечение перпендикулярно на околния ръб [tex]AA_{1 }[/tex]
Това ми дава право да използвам следните формули за повърхнина и обем:
$$S = P_{PBC }. AA_{1 } ,V = S_{PBC } .A A_{1 } $$
Построявам сечението [tex]ADD_{1 } A_{1 }[/tex]

От [tex]\triangle AD A_{1 } \rightarrow[/tex]

[tex]\frac{ A_{1 }D }{A A_{1 } } = \sin \beta \Leftrightarrow A_{1 }D = b\sin \beta[/tex]

От [tex]\triangle PD A_{1 } \rightarrow[/tex]

[tex]\frac{PD}{ A_{1 }D } = \cos \beta \Leftrightarrow PD = A_{1 }D\cos \beta \Leftrightarrow PD = b\sin \beta \cos \beta \Rightarrow PD = \frac{b\sin2 \beta }{2}[/tex]

От [tex]\triangle PDB \rightarrow[/tex]

[tex]\frac{BD}{PD} = \tg \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow BD = \frac{b\sin2 \beta }{2}tg \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow BC = b\sin2 \beta\tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[tex]\frac{PD}{PB} =\cos \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow PD = PB\cos \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow \frac{b\sin2 \beta }{2} =PB\cos \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow PB = \frac{b\sin2 \beta }{2\cos \frac{ \alpha }{2} }[/tex]

[tex]P_{PBC } = 2PB + BC = \frac{b\sin2 \beta }{\cos \frac{ \alpha }{2} } + b\sin2 \beta \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{b\sin2 \beta }{\cos \frac{ \alpha }{2} }(1 + \sin \frac{ \alpha }{2}) = \frac{b\sin2 \beta }{\cos \frac{ \alpha }{2} }2\sin \frac{ \alpha }{4}\cos \frac{ \alpha }{4} = b\sin2 \beta \tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]
$$S = P_{PBC }.b = b^{2 }\sin2 \beta\tg \frac{ \alpha }{2} $$
[tex]S_{PBC } = \frac{DP.BC}{2} \Leftrightarrow S_{PBC } = \frac{1}{2} \frac{b\sin2 \beta }{2}.b\sin2 \beta \tg \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow S_{PBC } = \frac{1}{4} b^{2 } \sin^{2 }2 \beta \tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]
$$V = b. S_{PBC } = \frac{1}{4} b^{3 } \sin^{2 }2 \beta \tg \frac{ \alpha }{2} $$