Триъгълна пирамида - ъгъл между равнини

[nikola.topalov]

Дадена е триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex], основата на която е [tex]\triangle ABC[/tex] със страна [tex]AB=2\sqrt{6}[/tex]. Околната стена [tex]CBD[/tex] е перпендикулярна на основата, а ъгълът между равнините [tex]ABD[/tex] и [tex]CBD[/tex] е [tex]45^\circ[/tex]. Точка [tex]M[/tex] е от отсечката [tex]AB[/tex] и е такава, че [tex]V_{ACMD}=V_{MCBD}[/tex]. Да се намери тангенсът на ъгъла, който сключват помежду си равнините [tex]MCD[/tex] и [tex]CBD[/tex], ако [tex]CD=2[/tex] и радиусът на описаната около пирамидата сфера е [tex]\sqrt{6}[/tex].

[nikola.topalov]

Качвам и решение, придружено с чертеж:

geogebra-export (29).png (78.14 KiB) Прегледано 808 пъти

Първо е важно да съобразим, че точка [tex]M[/tex] е средата на отсечката [tex]AB[/tex]. Тъй като дължината на радиуса на описаната около пирамидата сфера е половината от дължината на [tex]AB[/tex], то центърът ѝ съвпада със средата на отсечката [tex]AB[/tex] [tex]-[/tex] точка [tex]M[/tex]. Това означава, че [tex]\angle BCA=\angle BDA=90^\circ[/tex], тъй като [tex]BM=MA=MC=MD[/tex]. Но стената [tex]BCD[/tex] по условие е перпендикулярна на основата, т.е. [tex]DC[/tex] се проектира в [tex]BC[/tex]. Оттук имаме, че [tex]DC\perp CA[/tex] по теоремата за трите перпендикуляра. Аналогично показваме, че [tex]BD\perp CA[/tex]. И така получаваме, че [tex]BD[/tex] е перпендикулярна на две прави от равнината [tex]CAD[/tex], следователно и на цялата равнина, а оттук и на всяка права от нея. Следователно [tex]BD\perp DC[/tex]. Така получихме, че линеен ъгъл на двустенния ъгъл между равнините [tex]BCD[/tex] и [tex]BAD[/tex] е [tex]\angle CDA[/tex], който по условие е [tex]45^\circ[/tex]. Намираме последователно [tex]CA=2[/tex], [tex]BC=2\sqrt{5}[/tex] и [tex]BD=4[/tex] и сега остана да построим линеен ъгъл на двустенния ъгъл между равнините [tex]MCD[/tex] и [tex]BCD[/tex]. Нека [tex]MN[/tex] ([tex]N\in DC[/tex]) е височината в равнобедрения [tex]\triangle MCD[/tex] и нека [tex]P\in BC: NP\perp DC[/tex]. Тогава търсим [tex]\tg\angle PNM[/tex]. Лесно се показва, че [tex]PN[/tex] и [tex]PM[/tex] са средни отсечки съответно в правоъгълните [tex]\triangle BCD[/tex] и [tex]\triangle BAC[/tex], т.е. [tex]PN=2[/tex] и [tex]PM=1[/tex]. Тъй като [tex]AD\perp CA[/tex] и [tex]PN\parallel BD[/tex], [tex]PM\parallel AC[/tex], то [tex]PN\perp PM[/tex], т.е. [tex]\tg\angle PNM=\dfrac{1}{2}[/tex].