Задача от състезание на math10

[ubuntu]

Даден е остроъгълен триъгълник ABC (AC?BC).O,H и F са съответно център на описаната окръжност,ортоцентър и пета на височината от върха C към AB.Нека още <DFO=<EFO=90 ,където D принадлежи на BC ,а точката E принадлежи на правата ,минаваща през A и C.
Да се докаже , че <DHE=<ACB.

Задачата може да се види също на - http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4047

[Мирослав Стоенчев]

Геометричната задача се решава стандартно поради което няма да я коментирам. Предлагам следната, която не е от състезание на math10.

Задача. Нека [tex]Q[/tex] е линеен полином с коефициенти естествени числа. Да се докаже, че множеството [tex]\{Q(n)|n\in \mathbb{P}\}[/tex]съдържа безбройно много елементи, всеки от които има поне 2 различни прости делителя. ( [tex]\mathbb{P}[/tex] е множеството на простите числа.)

[mkmarinov]

[tex]Q(n)=3n+2[/tex]
[tex]Q(5)=17[/tex]

или бъркам някъде?

[Мирослав Стоенчев]

Трябва да се докаже, че това множество има безкрайно подмножество, всеки елемент на което има поне 2 различни прости делителя.

[Станислав]

Това, което mkmarinov е написал е ясно, заради теоремата на Дирихле. Миро, интересен е проблемът. Ти ли го измисли или го видя от някъде? Струва ми се известен факт, но все пак ми е интересно

[allier]

Това твърдение ми се струва лесно ... може и да съм се объркал.

Махаме НОД на коефициентите на полинома. Нека p и q са различни прости числа, такива че:
p/Q(i) и q/Q(j) (не може всички членове на полинома да са степени на едно и също просто число) и p,q не делят P(0). Тогава, има безбройно много общи членове x на прогресиите i+pn и j+qm, тъй като p и q са взаимно прости. Значи p/Q(x) и q/Q(x). Сега, x се описва с прогресията s+pqn. Ако p/s или q/s, то p/Q(0) или q/Q(0), противоречие. Тогава от теоремата на Дирихле, s+pqn съдържа безбройно много прости числа.