Вложено модулно неравенство

[Hephaestus]

Да се намери сборът на целите числа, удовлетворяващи неравенството: [tex]\big| \big| 4 - | x-1 | \big| - x^{2 } \big| \le 3x + 5[/tex]

[Hephaestus]

Споделям моето решение:

Даденото неравенство [tex]\big| \big| 4-|x-1| \big| - x^{2} \big| \le 3x+5[/tex] се разпада последователно на следната система от неравенства:

[tex]\begin{array}{|l} \big| 4-|x-1| \big| \le x^{2} + 3x + 5 \\ \big| 4-|x-1| \big| \ge x^{2} - 3x - 5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 4-|x-1| \le x^{2} + 3x + 5 \\ 4-|x-1| \ge - x^{2} - 3x - 5 \\ \{ 4-|x-1| \ge x^{2} - 3x - 5 \} \cup \{ 4-|x-1| \le -x^{2} + 3x + 5 \} \end{array}[/tex]

1-ви случай: [tex]x \in [1; +\infty)[/tex]
Тогава получената система е еквивалентна на:

[tex]\begin{array}{|l} 4-(x-1) \le x^{2} + 3x + 5 \\ 4-(x-1) \ge - x^{2} - 3x - 5 \\ \{ 4-(x-1) \ge x^{2} - 3x - 5 \} \cup \{ 4-(x-1) \le -x^{2} + 3x + 5 \} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2} + 4x \ge 0 \\ x^{2} + 2x + 10 \ge 0 \\ \{ x^{2} - 2x - 10 \le 0 \} \cup \{ x^{2} - 4x \le 0 \} \end{array}[/tex]

Решенията на тези квадратни неравенства са [tex]\begin{array}{|l} x \in (-\infty; -4] \cup [0; \infty) \\ \forall x \in R \\ \{ x \in [1- \sqrt{11}; 1+\sqrt{11}] \} \cup \{ x \in [0;4] \} = x \in [1- \sqrt{11}; 1+\sqrt{11}] \end{array}[/tex]

Следователно системата е с решение [tex]x \in [0; 1+\sqrt{11}][/tex], а като вземем предвид и разглеждания случай [tex]\Rightarrow \boxed{x \in [1; 1+\sqrt{11}]}[/tex]

2-ри случай: [tex]x \in (-\infty; 1)[/tex]
Тогава получената система е еквивалентна на:

[tex]\begin{array}{|l} 4-(1-x) \le x^{2} + 3x + 5 \\ 4-(1-x) \ge - x^{2} - 3x - 5 \\ \{ 4-(1-x) \ge x^{2} - 3x - 5 \} \cup \{ 4-(1-x) \le -x^{2} + 3x + 5 \} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2} + 2x + 2\ge 0 \\ x^{2} + 4x + 8 \ge 0 \\ \{ x^{2} - 4x - 8 \le 0 \} \cup \{ x^{2} - 2x -2 \le 0 \} \end{array}[/tex]

Решенията на тези квадратни неравенства са [tex]\begin{array}{|l} \forall x \in R \\ \forall x \in R \\ \{ x \in [2- 2\sqrt{3}; 2+2\sqrt{3}] \} \cup \{ x \in [1- \sqrt{3}; 1+\sqrt{3}] \} = x \in [2- 2\sqrt{3}; 2+2\sqrt{3}] \end{array}[/tex]

Следователно в този случай имаме [tex]x \in [2- 2\sqrt{3}; 2+2\sqrt{3}][/tex], а като вземем предвид и разглеждания интервал [tex]\Rightarrow \boxed{x \in [2-
2\sqrt{3} ; 1 ) }[/tex]

Обединяваме решенията на двата случая, за да получим окончателното решение на модулното неравенство: [tex]\boxed{x \in [2-2\sqrt{3}; 1+\sqrt{11}] }[/tex]

Тъй като [tex]\hspace{0.7cm} -2 = 2-2\sqrt{4} < 2-2\sqrt{3} < 2-2.\frac{3}{2} = -1\hspace{0.7cm}[/tex] и [tex]\hspace{0.7cm} 4 = 1 +\sqrt{9} < 1+\sqrt{11} < 1+\sqrt{16} = 5[/tex],
то целите числа в този интервал са [tex]\{ {-1, 0, 1, 2, 3, 4} \}[/tex] и търсеният сбор е [tex]\boxed{S = 9}[/tex]