Триъгълник във вътрешността на друг триъгълник

[Hephaestus]

Към медианата [tex]BM[/tex] на равнобедрения и правоъгълен триъгълник [tex]\triangle ABC[/tex] [tex](\angle ACB = 90 ^\circ)[/tex] е спуснат перпендикулярът [tex]CP[/tex]. Продължението на [tex]CP[/tex] пресича хипотенузата [tex]AB[/tex] в точка [tex]K[/tex]. Точката [tex]N[/tex] лежи на катета [tex]BC[/tex] и е такава, че [tex]BN : NC = 1 : 8[/tex].
Ако [tex]AN[/tex] пресича [tex]CK[/tex] и [tex]BM[/tex] съответно в точките [tex]F[/tex] и [tex]Q[/tex], да се намери отношението [tex]\frac{S_{ \triangle FPQ }}{S_{ \triangle ABC }}[/tex], където [tex]S_{ \triangle FPQ}[/tex] е лицето на [tex]\triangle FPQ[/tex], а [tex]S_{ \triangle ABC}[/tex] е лицето на [tex]\triangle ABC[/tex].

[123a]

Като за начало ознаваме $BC=AC=9x; AB=9\sqrt{2}x; CM=AM=\frac{9}{2}x$

Нека разгледаме [tex]\triangle MBC[/tex]

[tex]\angle BMC= \varphi[/tex]

[tex]tg \varphi=2=>sin \varphi= \frac{2 \sqrt{5} }{5}; cos \varphi= \frac{ \sqrt{5} }{5}[/tex]

От правъгълния [tex]\triangle MCP[/tex] имаме [tex]sin \varphi= \frac{CP}{MC}=>CP= \frac{18 \sqrt{5} }{10}x[/tex]
А $MP=\frac{9\sqrt{5}x}{10}$. От Питагоровата теорема намираме $MB=\frac{9\sqrt{5}}{2}x$

От Теоремата на Менелай за [tex]\triangle MBC[/tex] и правата $AN$ имаме [tex]\frac{AC}{AM}. \frac{MQ}{QB}. \frac{BN}{NC}=1[/tex]

[tex]\frac{2}{1}. \frac{MQ}{QB}. \frac{1}{8}=1=> \frac{MQ}{QB} = 4[/tex]

Ако $QB=t, MQ=4t=>5t=\frac{9\sqrt{5}}{2}x=>t=\frac{9 \sqrt{5} }{10}x$

$PQ=MQ-MP=4.\frac{9 \sqrt{5} }{10}x- \frac{9\sqrt{5}x}{10}=\frac{27\sqrt{5}x}{10}$

Нека в [tex]\triangle CAN[/tex] означим [tex]\angle CAN= \delta =>tg \delta= \frac{8}{9}[/tex]

Нека [tex]\angle PQF= \lambda[/tex]

Тогава имаме [tex]\angle \delta+ \angle \lambda = \angle \varphi[/tex]

[tex]tg \lambda=tg (\varphi -\delta)= \frac{tg \varphi -tg \varphi }{1+tg \varphi.tg \delta } = \frac{4}{5}[/tex]

[tex]tg\lambda= \frac{FP}{PQ} =>FP= \frac{54 \sqrt{5} x}{25}[/tex]

[tex]S_{FPQ}=\frac{FP.PQ}{2}= \frac{729x^2}{50 }[/tex]

$S_{ABC}=\frac{81}{2}x^2$

Като резултат получавам,че [tex]\frac{S_{FPQ}}{S_{ABC}}=
\frac{9}{25}[/tex]

[Hephaestus]

Страхотно решение и благодаря за отделеното внимание към задачата!

Отговорът е [tex]\hspace{0.1cm} \frac{S_{ \triangle FPQ}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{9}{50}[/tex]

Лекото разминаване идва поради малка техническа грешка: [tex]tg \lambda = \frac{tg \varphi - tg \delta }{1 + tg \varphi \cdot tg \delta} = \frac{2 - \frac{8}{9} }{1 + 2 \cdot \frac{8}{9} } = \frac{ \frac{10}{9} }{ \frac{25}{9} } = \frac{2}{5}[/tex]

Оттам и [tex]FP = \frac{54 \sqrt{5} x}{50} \Rightarrow S_{ \triangle FPQ} = \frac{729 \sqrt{5} x^{2 }}{100} \Rightarrow[/tex] [tex]\hspace{0.1cm} \frac{S_{ \triangle FPQ}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{9}{50}[/tex]

[123a]

Лекото разминаване идва поради малка техническа грешка: [tex]tg \lambda = \frac{tg \varphi - tg \delta }{1 + tg \varphi \cdot tg \delta} = \frac{2 - \frac{8}{9} }{1 + 2 \cdot \frac{8}{9} } = \frac{ \frac{10}{9} }{ \frac{25}{9} } = \frac{2}{5}[/tex]

Понякога при най-простите сметки възникват грешки по невнимание. Иначе -добра задача