Геометрично място от точки

[grav]

Даден е квадрат [tex]ABCD[/tex] и вписаната в него окръжност [tex]O[/tex]. Да се намери геометричното място от точки [tex]М[/tex] удоволетворяващи условието ъгъл [tex]AMC[/tex] да е равен на ъгъла между двете допирателни към окръжността минаващи през [tex]М[/tex].

[drago]

Окръжността с диаметър $AC$.

[grav]

Окръжността с диаметър $AC$.

Не мисля. [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] не могат да са от множеството защото ъгъл [tex]AMC[/tex] е нула. Дори и близки до [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] от тази окръжност няма да удоволетворяват условието. Никоя точка от правата определена от [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] няма да е от множеството, [tex]B[/tex] и [tex]D[/tex] са очевидно то него и oт е симетрично относно диагоналите, следователно ще има поне две свързани компоненти. Хипербола е по-добро предположение.

[KOPMOPAH]

Окръжността с диаметър $AC$.

... с изключение на точките $A$ и $C$. И аз стигнах до този извод и проверих с $GeoGebra$:

000357.gif (21.93 KiB) Прегледано 1147 пъти

[drago]

Окръжността с диаметър $AC$.

Да, без точките $A$ и $C$. Ами, от всяка точка от тази окръжност, диаметъра $AC$ се вижда под $90^{\circ}$. От друга страна, двете допирателни също са перпендикулярни. Вземете например т. $B$ - за другите точки е същото.
Още малко врътка, че няма други точки...

[grav]

Да, аз бях решил, че трябва да е хипербола и се чудех защо не излиза.

[peyo]

Не съм сигурен, че разбрах, само 90 градуса решения има? А това не е ли решение:

dmfghdhjfgskdjd.png (850.7 KiB) Прегледано 1133 пъти

Ето който иска да пробва да намери други точки:

https://www.geogebra.org/classic/gv6h7u9x

[drago]

Да, има и други точки. Подценил съм това. То и без geogebra е ясно.
Откъде идва тази задача?

[grav]

Откъде идва тази задача?

https://www.physicsforums.com/threads/locus-of-a-point.1013675/

[S.B.]

Даден е квадрат [tex]ABCD[/tex] и вписаната в него окръжност [tex]O[/tex]. Да се намери геометричното място от точки [tex]М[/tex] удоволетворяващи условието ъгъл [tex]AMC[/tex] да е равен на ъгъла между двете допирателни към окръжността минаващи през [tex]М[/tex].

Без заглавие - 2022-04-05T203034.055.png (488.97 KiB) Прегледано 1039 пъти

Геометричното място на центровете на окръжностите,които се допират до раменете на даден ъгъл е ъглополовящата на ъгъла.
Ако [tex]\angle TMK = \varphi ,OT = OK = r ,OT \bot MT, OK \bot MK[/tex]
Тогава от [tex]\triangle OMT \rightarrow \frac{OT}{OM} = \sin \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow OM = \frac{OT}{\sin \frac{ \varphi }{2} } \Rightarrow OM = \frac{r}{\sin \frac{ \varphi }{2} }[/tex]
Нека квадрата $ABCD$ е със страна $a$, а вписаната в него окръжност има център $O$ и радиус [tex]r = \frac{a}{2}[/tex]
Геометричното място на точките $M$ ,което се търси е сечение на две геометрични места на точки.
1) $GMT1$ - всички точки [tex]M \in \overset{\displaystyle\frown}{AC}[/tex] от която $AC$ се вижда по [tex]\angle AMC = \varphi[/tex]
2) $GMT2$ - за всички точки $M$ трябва да е изпълнено: [tex]OM = \frac{r}{\sin \frac{ \varphi }{2} } \Leftrightarrow OM = \frac{a}{2\sin \frac{ \varphi }{2} }[/tex]
Тогава [tex]GMT1 \cap GMT2 = M_{i }[/tex] ,което е търсеното геометрично място.
Построение:
(Умишлено избирам [tex]\varphi = 60 ^\circ[/tex] за да е по-лесно построяването,тъй като [tex]\sin \frac{ \varphi }{2}= \sin 30 ^\circ = \frac{1}{2})[/tex]
1) $GMT1$:
Построявам:
[tex]\angle AC C_{1 } = \varphi[/tex]
[tex]n \bot C C_{1 }[/tex]
[tex]S_{AC }[/tex]
[tex]S_{AC } \cap n = O_{1 }[/tex]
[tex]k_{1 }( O_{1 }; r_{1 } = O_{1 }C)[/tex]

2)$GMT2$:
[tex]k_{2 }( O_{2 }= O; r_{2 } = \frac{a}{2\sin \frac{ \varphi }{2} })[/tex]

[tex]k_{1 } \cap k_{2 } = \begin{cases} M_{1 } \\ M_{2 } \end{cases}[/tex]
През т.[tex]M_{1 }[/tex] построявам 2 тангенти -[tex]t_{1 }, t_{2 }[/tex]
През т.[tex]M_{2 }[/tex] построявам 2 тангенти - [tex]t_{3 }, t_{4 }[/tex]
[tex]\angle ( t_{1 }, t_{2 } )= \varphi[/tex] защото [tex]М_{1 } \in \overset{\displaystyle\frown}{AC}[/tex] от която $AC$ се вижда под [tex]\angle \varphi[/tex]
Аналогичнио и [tex]\angle ( t_{3 }, t_{4 }) = \varphi[/tex]
Изследване:
Броят на решенията зависи от големината на [tex]\angle AMC = \varphi[/tex]:
Ако [tex]\varphi = 90 ^\circ \rightarrow OM = \frac{a \sqrt{2} }{2}[/tex] тогава множеството от точки [tex]M_{i }[/tex] е най голямо, съвпада с
описаната около квадрата окръжност без точките $A$ и $C$
Ако [tex]\varphi < 90 ^\circ[/tex] тогава търсеното геометрично място има само 2 точки [tex]M_{1 }, M_{2 }[/tex] ,колкото са пресечните точки на двете окръжности.
Ако [tex]\varphi > 90 ^\circ[/tex] задачата няма решение.