Квадрат

[nikola.topalov]

Вътрешно за квадрата [tex]ABCD[/tex] е избрана точка [tex]M[/tex], такава че [tex]AM=3\sqrt{2}[/tex], [tex]BM=8[/tex] и [tex]DM=10[/tex]. Да се намери дължината на [tex]CM[/tex], както и лицето на квадрата.

[ptj]

Не виждам нищо особено в тази задача за да бъде в този раздел.

Въведи си координатна система съответстваща на [tex](0,0)[/tex] за [tex]А[/tex], [tex](0,x)[/tex] за [tex]B[/tex] и [tex](y,z)[/tex] за [tex]М[/tex]. Ще получиш (неприятна) система от 3 уравнения от 2-ра степен с 3 неизвестни. Те напълно определят задачата.

Може да провериш със софтуер, че решението е единствено.

[nikola.topalov]

Щом използвате софтуер, за да я решите, значи има нещо особено.

[Евва]

Съставих система от 4 ур-я с 4 неизвестни .
Лесно намерих СМ= [tex]\sqrt{146}[/tex] .
Греша ли ?

[nikola.topalov]

Не грешите! Така се получава.

[Евва]

Върху отсечките AB ,BC ,CD и AD нанасяме точките N ,P ,T и Q така ,че PQ||AB ,също PQ
минава през т.M и NT||BC също NT минава през т.М .
Нека BP=p ,CT=y ,AB=a ,MC=x=?

([tex]\triangle[/tex]AMQ) [tex]p^{2 }+ (a-y)^{2 }[/tex]=18
([tex]\triangle[/tex]MBP) [tex]p^{2 }[/tex]+[tex]y^{2 }[/tex]=64
([tex]\triangle[/tex]QTD) [tex](a-p)^{2 }[/tex]+[tex](a-y)^{2 }[/tex]=100
([tex]\triangle[/tex]MCT) [tex]x^{2 }[/tex]=[tex](a-p)^{2 }[/tex]+[tex]y^{2 }[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (a-y)^{2 } = 18- p^{2 } \\ y^{2 } = 64- p^{2 } \\ (a-p)^{2 }=100- (a-y)^{2 } \\ x^{2 }= (a-p)^{2 }+ y^{2 } \end{array}[/tex]
Заместваме 1 ред в 3-ти .

[tex]\begin{array}{|l} y^{2 } = 64- p^{2 } \\ (a-p)^{2 }=100-(18- p^{2 }) \\ x^{2 } = (a-p)^{2 } + y^{2 } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} y^{2 } = 64- p^{2 } \\ (a-p)^{2 } = 82+ p^{2 } \\ x^{2 } = (a-p)^{2 } + y^{2 } \end{array}[/tex]

[tex]x^{2 }[/tex]=82+[tex]p^{2 }[/tex]+64-[tex]p^{2 }[/tex]

MC=x=[tex]\sqrt{146}[/tex]

За АВ =а=? имам идея , но ще помисля още .

[S.B.]

Вътрешно за квадрата [tex]ABCD[/tex] е избрана точка [tex]M[/tex], такава че [tex]AM=3\sqrt{2}[/tex], [tex]BM=8[/tex] и [tex]DM=10[/tex]. Да се намери дължината на [tex]CM[/tex], както и лицето на квадрата.

Без заглавие - 2022-04-10T171930.759.png (262.7 KiB) Прегледано 1659 пъти

Построявам правите $p$ и $q$ такива,че [tex]p \begin{cases} z M \\ || AB\\ \cap AD = P\\ \cap BC = Q\end{cases} , q \begin{cases} z M \\ ||AD\\ \cap AB =N\\ \cap CD = K\end{cases}[/tex]
Нека $AN = x , AP = y$ , от [tex]\triangle AMN \rightarrow x^{2 } + y^{2 } = 18[/tex]

От [tex]\triangle MKC \rightarrow MC^{2 } = KC^{2 } + MK^{2 }[/tex]

От [tex]\triangle DKM \rightarrow MK^{2 } = 100 - x^{2 }[/tex]

От [tex]\triangle MQB \rightarrow MQ^{2 } = 64 - y^{2 }[/tex]
Но [tex]MQ = KC \Rightarrow KC^{2 } = 64 - y^{2 }[/tex]
Тогава за $MC$ получавам:
[tex]MC^{2 } = KC^{2 } + MK^{2 } \Leftrightarrow MC^{2 } = 100 - x^{2 }+ 64 - y^{2 } = 164 - ( x^{2 }+ y^{2 }) = 164 - 18 = 146[/tex]
$$\Rightarrow MC = \sqrt{146} $$

Скрит текст: покажи

Относно лицето на квадрата ще се въздържа за сега

[Евва]

С повечко писане получих [tex]S_{ABCD }[/tex]=130 .
Това ли е отговора ?
Не ми давайте точка .

[nikola.topalov]

Толкова е. Браво на Евва и S.B.!

[Евва]

Нека [tex]\angle[/tex]MAC=[tex]\beta[/tex]
([tex]\triangle[/tex]AMC-cos T) 146=2[tex]a^{2 }[/tex]+18-2.3[tex]\sqrt{2}[/tex].a[tex]\sqrt{2}[/tex].cos[tex]\beta[/tex]

cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{2 a^{2 }-128 }{12a}[/tex] ; 0[tex]^\circ[/tex]<[tex]\beta[/tex]<90[tex]^\circ[/tex]

sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{ -4 a^{4 }+ 656 a^{2 } -16 384} }{12a}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ABM-cos T) 64=[tex]a^{2 }[/tex]+18-2.3[tex]\sqrt{2}[/tex]a.cos(45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex])

cos(45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex])=[tex]\frac{ a^{2 } -46}{6 \sqrt{2} a}[/tex]

[tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex].cos[tex]\beta[/tex]+[tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex].sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{2 a^{2 } -92}{12 \sqrt{2} a}[/tex]

[tex]\frac{2 a^{2 }-128 }{12 \sqrt{2} a}[/tex]+[tex]\frac{ \sqrt{ -4 a^{4 } +656 a^{2 } -16384} }{12 \sqrt{2}a }[/tex]=[tex]\frac{2 a^{2 }-92 }{12 \sqrt{2}a }[/tex]

[tex]\sqrt{ -4 a^{4 }+656 a^{2 } -16384}[/tex]=36
... ...
[tex]a^{4 }[/tex]-164[tex]a^{2 }[/tex]+4 420=0
полагаме [tex]a^{2 }[/tex]=t
[tex]t^{2 }[/tex]-164t+4420=0
k= -82 ; D=6724-4420=2304=[tex]48^{2 }[/tex]
[tex]t_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{82 \pm48 }{1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_{1 }[/tex]=130 , [tex]t_{2 }[/tex]=34
[tex]a_{1 }[/tex]=[tex]\sqrt{130}[/tex] или [tex]а_{2 }[/tex]=[tex]\sqrt{34}[/tex]

За да бъде т.М вътрешна за квадрата ,трябва CM<CA т.е.[tex]\sqrt{146}[/tex]<a[tex]\sqrt{2}[/tex] .
Очевидно [tex]а_{2 }[/tex] не изпълнява това условие и отпада като отговор .
[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]a^{2 }[/tex]=130

[nikola.topalov]

Ще кача моето решение по-късно.