Функции и вероятности

[Hephaestus]

Дадени са функциите: [tex]\hspace{0.1cm} f(x) = 3x^{2 } + bx + c\hspace{0.1cm}[/tex] и [tex]\hspace{0.1cm} g(x) = 4x^{2 } + px + q[/tex]
Ако числата [tex]\hspace{0.1cm} b,c,p,q \hspace{0.1cm}[/tex] са естествени и едноцифрени (т.е. [tex]b,c,p,q \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\})[/tex], да се намери вероятността графиките на функциите [tex]\hspace{0.05cm}f(x)\hspace{0.05cm}[/tex] и [tex]\hspace{0.05cm}g(x)\hspace{0.05cm}[/tex] да се пресичат в поне една точка.

[Genie_Almo]

Около 75% я изкарвам с помощта на Excel

[Hephaestus]

Приближението е добро. Точният отговор е [tex]\frac{1631}{2187}[/tex] [tex](\approx 74,58 \%)[/tex]

[Genie_Almo]

Да се пресичат графиките на двете функции е еквивалентно на това функцията [tex]h(x) = g(x) - f(x) = x^{2 }+(p-b)x+(q-c)[/tex] да има реален корен, което от своя страна означава нейната дискриминанта да е неотрицателна.

Аз си представям от тук нататък нещата така:

Ако [tex]\overline{pbqc}[/tex] са всички числа образувани от цифрите {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , то техният брой е точно [tex]9^{4} = 6561[/tex]. Интересуват ни тези от тях, за които [tex](p-b)^2 - 4(q-c) \ge 0[/tex]. Необходимо е да се намери хитър начин да се преброят тези числа. Това, че си представям серията от данни като 4-цифрени числа едва ли е съществено в случая. На мен ми е по-лесно да генерирам данните така. Машинното преброяване показва 4893 числа, отговарящи на условието, т.е. техният дял е [tex]\frac{4893}{6561} \approx[/tex] 74.58%

Вероятно няма да е много трудно да се намери и по-оптимален начин и само чрез логически съображения да се изведе този резултат.

[Hephaestus]

Именно това е идеята - да се намери подход, който да елиминира значително разглеждането на всичките възможни четворки [tex]\overline{bcpq}[/tex]. По-късно ще споделя моето решение.

[Hephaestus]

Нека търсената вероятност е [tex]P[/tex]. Тогава [tex]\overline{P}[/tex] ще бъде вероятността двете функции да нямат нито една пресечна точка и [tex]P = 1 - \overline{P}[/tex]. В тази задача е малко по-удобно да намерим [tex]\overline{P}[/tex], т.е. случаите, в които двете функции не се пресичат, а това се случва точно когато уравнението [tex]h(x) = g(x) - f(x) = x^{2 } + (p-b)x + (q-c) = 0[/tex] няма решение, т.е. когато неговата дискриминанта е отрицателна [tex](D < 0)[/tex].

Всяко от числата [tex]p,b,q,c[/tex] може да вземе цяла стойност от 1 до 9, т.е. всичките възможни случаи, по които можем да ги изберем, са [tex]9.9.9.9 = 9^{4 } = 6561[/tex].
Ако [tex]q=c[/tex], тогава [tex]h(x) = x^{2 } + (p-b)x \hspace{0.1cm}[/tex] и дискриминантата е [tex]D = (p - b)^{2 } \ge 0[/tex], т.е. винаги ще имаме поне една пресечна точка.

Нека [tex]q \ne c[/tex]. Ще разгледаме два случая:
1-ви случай: [tex]p = b[/tex]
Тогава [tex]h(x) = x^{2 } + (q-c)\hspace{0.1cm}[/tex] и [tex]\hspace{0.1cm}D=-4(q-c)=4(c-q)[/tex]. Следователно дискриминанта ще бъде отрицателна точно когато [tex]c < q[/tex].
Ако [tex]c = 1, \hspace{0.1cm}q[/tex] може да приеме 8 стойности (2,3,4,5,6,7,8,9); ако [tex]c = 2[/tex], за [tex]q[/tex] имаме 7 стойности (3,4,5,6,7,8,9) и така нататък, т.е. [tex]\hspace{0.1cm}c < q\hspace{0.1cm}[/tex] в [tex]8+7+6+5+4+3+2+1=36[/tex] случая. Да не забравим, че при всеки от тези случаи е възможно [tex]p = b = 1,\hspace{0.1cm} p = b = 2,\hspace{0.2cm} ... \hspace{0.2cm},\hspace{0.1cm} p = b = 9[/tex], т.е. благоприятните възможности тук са [tex]36.9=324.[/tex]

2-ри случай: [tex]p \ne b[/tex]
Тогава [tex]h(x) = x^{2 } + (p-b)x + (q-c) = 0\hspace{0.1cm}[/tex] и [tex]\hspace{0.1cm} D = (p-b)^{2} - 4(q-c)[/tex]
Лесно се съобразява, че ако [tex]q < c[/tex], тогава [tex]D = (p-b)^{2} - 4(q-c) > 0[/tex]
Нека [tex]q > c[/tex]. Както отбелязахме по-горе, ще броим случаите, в които [tex]D < 0[/tex].
Щом [tex]q > c[/tex], то [tex]D < 0[/tex] е еквивалентно на [tex](p-b)^{2} - 4(q-c) < 0 \Leftrightarrow \frac{(p-b)^{2}}{(q-c)} < 4[/tex]
Разликата [tex](q-c)[/tex], [tex]q > c[/tex], може да приеме осем стойности [tex]-[/tex] от 1 до 8.

Тази разлика ще бъде равна на [tex]1[/tex], когато [tex]q = 2, c = 1; \hspace{0.2cm} q = 3, c = 2; \hspace{0.2cm} ... \hspace{0.2cm}q=9, c = 8[/tex], а ще бъде равна на [tex]8[/tex] само когато [tex]q = 9, c = 1[/tex]. С други думи, разликата [tex](q-c)[/tex], [tex]q > c[/tex], осем пъти приема стойност [tex]1[/tex], седем пъти приема стойност [tex]2[/tex], шест пъти приема стойност [tex]3[/tex], ..., един път приема стойност [tex]8[/tex].

За израза [tex](p-b)^{2 }[/tex] пък имаме, че той ще бъде равен на [tex]1^{2 }[/tex], когато [tex]p = 2, b = 1 \hspace{0.2cm}ИЛИ\hspace{0.2cm} p = 1, b = 2; \hspace{0.2cm} p = 3, b = 2\hspace{0.2cm} ИЛИ \hspace{0.2cm}p = 2, b = 3; \hspace{0.2cm} ... \hspace{0.2cm}p=9, b = 8\hspace{0.2cm} ИЛИ \hspace{0.2cm}p = 8, b = 9[/tex] и ще бъде равен на [tex]8^{2}[/tex] при [tex]\hspace{0.1cm}p=9 , b = 1\hspace{0.2cm} ИЛИ \hspace{0.2cm}p = 1, b = 9\hspace{0.1cm}[/tex] (причината за появата на тези ИЛИ-та е фактът, че за [tex]p[/tex] и [tex]b[/tex] нямаме подобно ограничение, каквото имахме за [tex]q[/tex] и [tex]c[/tex] [tex]\underline{(q > c)})[/tex]. Следователно изразът [tex](p-b)^{2 }[/tex] шестнадесет пъти приема стойност [tex]1^{2 }[/tex], четиринадесет пъти приема стойност [tex]2^{2}[/tex], дванадесет пъти приема стойност [tex]3^{2}[/tex], ..., два пъти приема стойност [tex]8^{2}[/tex].

Е, след тези съображения, не е трудно да филтрираме благоприятните случаи, удовлетворяващи неравенството [tex]\frac{(p-b)^{2}}{(q-c)} < 4 \hspace{0.1cm} (*)[/tex]
Например, за шестте случая, в които [tex](q-c)[/tex] приема стойност [tex]3[/tex], изразът [tex](p-b)^{2}[/tex] може да приеме стойности [tex]1^{2}, 2^{2} \hspace{0.1cm} или \hspace{0.1cm} 3^{2}[/tex], защото ако приеме стойност [tex]4^{2}[/tex] или повече, неравенството [tex](*)[/tex] няма да бъде изпълнено. В крайна сметка, в този 2-ри случай броят на благоприятните възможности възлиза на[tex]\hspace{0.1cm}8.16 + 7.(16+14) + 6.(16+14+12) + 5.(16+14+12)+4.(16+14+12+10)+3.(16+14+12+10)+2.(16+14+12+10+8) + 1.(16+14+12+10+8) = 128+210+252+210+208+156+120+60=1344[/tex]

За всичките възможности имахме, че са [tex]6561[/tex], а за благоприятните случаи на [tex]\overline{P}[/tex] получихме, че са [tex]324+1344 = 1668[/tex] на брой.
Тогава търсената вероятност е [tex]\boxed{P = 1 - \overline{P} = 1 - \frac{1668}{6561} = \frac{4893}{6561} = \frac{1631}{2187}}[/tex]

[peyo]

Дадени са функциите: [tex]\hspace{0.1cm} f(x) = 3x^{2 } + bx + c\hspace{0.1cm}[/tex] и [tex]\hspace{0.1cm} g(x) = 4x^{2 } + px + q[/tex]
Ако числата [tex]\hspace{0.1cm} b,c,p,q \hspace{0.1cm}[/tex] са естествени и едноцифрени (т.е. [tex]b,c,p,q \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\})[/tex], да се намери вероятността графиките на функциите [tex]\hspace{0.05cm}f(x)\hspace{0.05cm}[/tex] и [tex]\hspace{0.05cm}g(x)\hspace{0.05cm}[/tex] да се пресичат в поне една точка.

Много интересна задача!

Да се опитаме да решим задачата по възможно най-директния и може би най-бавен начин. Ще съставим всички възможни функции, решим получените квадратни уравнения $f(x)=g(x)$ и проверим дали корените им са реални.

Код: Избери целия код

var("x,b,c,p,q,y,a,b")

f = 3*x**2+b*x+c
g = 4*x**2+p*x+q

n,m=0,0
R = range(1,10)
for b_ in R:
   print(b_)
   for c_ in R:
      print(b_,c_)
      for p_ in R:
         for q_ in R:
            n+=1
            s = solve(f.subs(b,b_).subs(c,c_)- g.subs(p,p_).subs(q,q_))
            if complex(s[0]).imag == 0 and ( len(s)==1 or complex(s[1]).imag == 0):
               m+=1
            
print(n,m,m/n)


6561 4893 0.7457704618198445

Отговора съвпада, значи ОК.

(това отне около 2-3 минути на моя компютър да го сметне)

[Nathi123]

Да сложим една точка за участие на компютъра!

[Hephaestus]

Е, никое аналитично решение на подобен тип алгебрични задачи не може да достигне скоростта на компютър. Идеята беше да се споделят възможни подходи - някои по-кратки, други по-дълги, и в крайна сметка, както е отбелязано в аналитичното решение, което дадох, далеч не е необходимо да се разгледа всеки от 6561-те случая поотделно. Но се радвам, че задачата е подбудила интерес и оценявам усилията на колегите, които са си направили труда да решат задачата дори и с програма.