Единайсет окръжности

[Hephaestus]

Десет еднакви окръжности, всяка от които има радиус [tex]r=\sqrt{5}[/tex], се допират външно до голяма окръжност [tex]k[/tex] с център [tex]O[/tex]. Всяка от десетте еднакви окръжности се допира външно и до съседните си. Да се намери обиколката на голямата окръжност [tex]k[/tex].

[S.B.]

Десет еднакви окръжности, всяка от които има радиус [tex]r=\sqrt{5}[/tex], се допират външно до голяма окръжност [tex]k[/tex] с център [tex]O[/tex]. Всяка от десетте еднакви окръжности се допира външно и до съседните си. Да се намери обиколката на голямата окръжност [tex]k[/tex].

Без заглавие - 2022-04-29T104431.710.png (530.04 KiB) Прегледано 942 пъти

[tex]\angle O_{1 } O O_{2 } = \frac{360 ^\circ }{10} = 36 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle O_{1 }O O_{2 }[/tex] е равнобедрен с бедра [tex]О_{1 }О = О_{2 }О = R + \sqrt{5}[/tex] (където $R$ е радиуса на голямата окръжност)
[tex]\angle O O_{1 } O_{2 } = O O_{2 } O_{1 } = 72 ^\circ ,OP \bot O_{1 } O_{2 }[/tex]
От [tex]\triangle OP O_{1 } \Rightarrow \frac{ O_{1 }P }{O O_{1 } } = \cos 72 ^\circ \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{5} }{R + \sqrt{5} } = \cos 72 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow R = \frac{ \sqrt{5}(1 - \cos 72 ^\circ )}{\cos 72 ^\circ }$$
За да намеря [tex]\cos 72 ^\circ[/tex] ще разгледам [tex]\triangle ABC \approx \triangle O O_{1 } O_{2 }[/tex]
Построявам ъглополовящата $AL$ на [tex]\angle BAC = 72 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle ABC \approx \triangle ABL \Rightarrow \frac{AB}{BL} = \frac{CL}{AB}[/tex]
Нека означа [tex]AL = AB = x , BL = t[/tex]
Построявам [tex]AN\bot BC[/tex]
От [tex]\triangle ABN \rightarrow \displaystyle\frac{BN}{AB} = \cos 72 ^\circ \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{t}{2} }{x} = \cos 72 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \frac{t}{2x} = \cos 72 ^\circ$$
От подобността на [tex]\triangle ABC \approx \triangle ABL \rightarrow \frac{AB}{BL} = \frac{CL}{AB} \Leftrightarrow \frac{x}{ t} = \frac{x + t}{x} \Leftrightarrow x^{2 } = xt + t^{2 }[/tex]
[tex]t^{2 } + xt - x^{2 } = 0 \Leftrightarrow ( \frac{t}{x}) ^{2 } + \frac{t}{x} - 1 = 0 , D = 5 , \frac{t}{x} = \frac{-1 - \sqrt{5} }{2} , \frac{t}{x} = \frac{- 1 + \sqrt{5} }{2}[/tex]
Като се има предвид,че [tex]\frac{t}{x}>0[/tex](отсечки в триъгълник ) [tex]\Rightarrow \frac{t}{x} = \frac{ \sqrt{5} - 1}{2}[/tex]
Но [tex]\frac{t}{2x} = \cos 72 ^\circ \Rightarrow \cos 72 ^\circ = \frac{ \sqrt{5} - 1}{4}[/tex]

От [tex]\begin{cases} R = \displaystyle \frac{ \sqrt{5}(1 - \cos 72 ^\circ )}{\cos 72 ^\circ } \\ \cos 72 ^\circ = \displaystyle \frac{ \sqrt{5} - 1 }{4} \end{cases}[/tex] получавам:
[tex]R = \displaystyle \frac{ \sqrt{5}( 1 - \displaystyle \frac{ \sqrt{5} - 1}{4}) }{\displaystyle \frac{ \sqrt{5} - 1 }{4} } = \displaystyle \frac{ \sqrt{5}(5 - \sqrt{5}) }{ \sqrt{5} - 1 } = \displaystyle \frac{ \sqrt{5}(5 - \sqrt{5} )( \sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \displaystyle \frac{5.4}{4} \Rightarrow R = 5[/tex]
За обиколката на голямата окръжност получавам:
[tex]c = 2 \pi R \Rightarrow c = 2 \pi .5 = 10 \pi[/tex]

[Hephaestus]

Страхотно решение, браво!

[S.B.]

Страхотно решение, браво!

Благодаря!

[math10.com]

tr.png (38.61 KiB) Прегледано 892 пъти

Според мен малко по-лесно е с подобни триъгълници.
[tex]\triangle A_1A_2L \approx \triangle A_1A_2O[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{R-r}{2r}= \frac{2r}{R+r} \Rightarrow R^2=5r^2=25 \Rightarrow R=5[/tex]
[tex]C=2 \pi R=10 \pi[/tex]

[Hephaestus]

Според мен малко по-лесно е с подобни триъгълници.
[tex]\triangle A_1A_2L \approx \triangle A_1A_2O[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{R-r}{2r}= \frac{2r}{R+r} \Rightarrow R^2=5r^2=25 \Rightarrow R=5[/tex]
[tex]C=2 \pi R=10 \pi[/tex]

Елегантно решение! В това се състои и красотата на математиката - една задача понякога може да бъде решена по множество начини и всеки подход има своя самобитен чар.