Ос-отсечка - екстремална задача

[nikola.topalov]

Дадена е триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex], основата на която е правоъгълният [tex]\triangle ABC[/tex] ([tex]\angle ABC=90^\circ[/tex]). Околните стени [tex]ABD[/tex] и [tex]ACD[/tex] са перпендикулярни на основата и [tex]AC=AD=1[/tex]. Измежду всички такива пирамиди да се намери обемът на онази, за която оста-отсечка на правите [tex]BD[/tex] и [tex]AC[/tex] е с максимална дължина.

[peyo]

Дадена е триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex], основата на която е правоъгълният [tex]\triangle ABC[/tex] ([tex]\angle ABC=90^\circ[/tex]). Околните стени [tex]ABD[/tex] и [tex]ACD[/tex] са перпендикулярни на основата и [tex]AC=AD=1[/tex]. Измежду всички такива пирамиди да се намери обемът на онази, за която оста-отсечка на правите [tex]BD[/tex] и [tex]AC[/tex] е с максимална дължина.

Тук предполагам, че "оста-отсечка на правите [tex]BD[/tex] и [tex]AC[/tex]" е най-малкото разстояние между правите [tex]BD[/tex] и [tex]AC[/tex].

Понеже BD е перпендикулярна на основата, то търсеното разстояние лежи на равнината на триъгълника ABC. Тогава задачата се свежда до кога височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е най-голяма? Където отговора е когато е равнобедрен, но предполагам трябва да се докаже.

[Nathi123]

По условие ( ACD) и ( ABD) са перпендикулярни на ( АВС ); ( ACD) [tex]\cap[/tex] ( ABD)= AD[tex]\Rightarrow AD \bot (ABC)[/tex].Ако BD[tex]\bot (ABC) \Rightarrow AD \equiv BD[/tex],което не е вярно.( През точка вън от дадена равнина съществува единствен перпендикуляр към равнината).Значи BD не е перпендикулярна на ( АВС)!

[nikola.topalov]

От условието следва, че [tex]AD\perp (ABC)[/tex]. Означаваме си [tex]AB=x[/tex] и намираме [tex]BC=\sqrt{1-x^2}[/tex] и [tex]BD=\sqrt{1+x^2}[/tex]. Дострояваме основата на пирамидата до успоредника [tex]ABEC[/tex], като по този начин образувахме равнината [tex]BED[/tex], която съдържа правата [tex]BD[/tex] и е успоредна на правата [tex]AC[/tex]. Това означава, че разстоянието между [tex]BD[/tex] и [tex]AC[/tex] е разстоянието от коя да е точка от правата [tex]AC[/tex] до равнината [tex](BED)[/tex]. Тогава дължината на оста-отсечка е равно на височината през върха [tex]C[/tex] в пирамидата [tex]BECD[/tex]. Имаме, че [tex]\cos\angle ABE=-x[/tex] и [tex]\cos\angle ABD=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex], откъдето по теоремата за трите косинуса намираме $$\cos\angle DBE=-\dfrac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}$$ и съответно $$\sin\angle DBE=\dfrac{\sqrt{1+x^2-x^4}}{\sqrt{1+x^2}}$$ Оттук лицето [tex]S[/tex] на [tex]\triangle BED[/tex] пресмятаме [tex]S=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+x^2-x^4}[/tex]. Освен това [tex]V_{ABCD}=V_{BECD}=\dfrac{1}{6}x\sqrt{1-x^2}[/tex]. Но [tex]V_{BECD}=\dfrac{1}{3}S d[/tex], където [tex]d[/tex] е търсеното разстояние, следователно $$d=\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2-x^4}},\ 0<x<1$$ Нататък е ясно.

[nikola.topalov]

geogebra-export (35).png (75.72 KiB) Прегледано 1062 пъти

[Nathi123]

Нека ВК [tex]\bot AC[/tex]; построяваме в равнината на триъг. АВС АВ' || BK [tex]\Rightarrow ( AB'D ) \bot AC[/tex]. В ( АВ'D ) построяваме AF[tex]\bot DB '[/tex].
Доказва се ,че AF = d е равно на дължината на ос отсечката за правите BD и АС.В триъг. АB'D AF e височина към хипотенузата B'D.Ако АВ = х ,то ВК = АВ'= x[tex]\sqrt{1-x ^{2 } }= \sqrt{ x^{2 }- x^{4 } }[/tex].Тогава [tex]\frac{1}{d ^{2 } }=1+ \frac{1}{\sqrt{ x^{2 }- x^{4 } }}[/tex] ( Използваме,че за правоъг. триъг. с катети а и b и височина
към хипотенузата h е в сила [tex]\frac{1}{h^{2 } }= \frac{1}{a ^{2 } }+ \frac{1}{b ^{2 } }[/tex]). Следователно,ако d e с макс дължина,то d[tex]^{2 }[/tex]-също,а
[tex]\frac{1}{d ^{2 } }[/tex]-с мин. стойност[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{ \sqrt{ x^{2 }- x^{4 } } }[/tex]e минимално,т.е. ако f(x) = [tex]\sqrt{ x^{2 }- x^{4 } }[/tex] е с максимална стойност за х[tex]\in (0,1)[/tex].Нататък получаваме,че това е изпълнено за х=[tex]\frac{1}{ \sqrt{2} }[/tex].Пресмятаме d и V.

[peyo]

По условие ( ACD) и ( ABD) са перпендикулярни на ( АВС ); ( ACD) [tex]\cap[/tex] ( ABD)= AD[tex]\Rightarrow AD \bot (ABC)[/tex].Ако BD[tex]\bot (ABC) \Rightarrow AD \equiv BD[/tex],което не е вярно.( През точка вън от дадена равнина съществува единствен перпендикуляр към равнината).Значи BD не е перпендикулярна на ( АВС)!

Да! Моя грешка.