Често заемана задача за решаване на уравнение

[Knowledge Greedy]

Решете уравнението
[tex]x-1+\sqrt{3-3x^2}=\frac{1}{2x}[/tex]
в множеството на реалните числа.

[nikola.topalov]

Допустимите стойности на уравнението са [tex]-1\leq x\leq 1\setminus\{0\}[/tex], което ни позволява да положим [tex]x=\cos(\alpha)\ne 0[/tex], [tex]\alpha\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. Също така нека [tex]0\leq\alpha\leq\pi[/tex], за да няма повтарящи се решения. И така получаваме уравнението $$2\sqrt{3}\cos(\alpha)|\sin(\alpha)|=1+2\cos(\alpha)=2\cos^2(\alpha)$$ което е еквивалентно на $$\sqrt{3}\sin(2\alpha)=2\cos(\alpha)-\cos(2\alpha)$$ предвид това, че [tex]|\sin(\alpha)|\geq 0[/tex] за ъгли в първи и втори квадрант. От друга страна $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2\alpha)+\dfrac{1}{2}\cos(2\alpha)=\cos\left(2\alpha-\dfrac{\pi}{3}\right)$$ тоест уравнението се сведе до решаване на $$\cos\left(2\alpha-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos(\alpha)$$ Оттук получаваме $$\alpha=2n\pi+\dfrac{\pi}{3}\cup\alpha=\dfrac{2l\pi}{3}+\dfrac{\pi}{9},\ n,l\in\mathbb{Z}$$ и съответно решенията от интервала [tex][0,\pi][/tex], които са $$\alpha=\dfrac{7\pi}{9}\cup\alpha=\dfrac{\pi}{3}\cup\alpha=\dfrac{\pi}{9}$$ Е, понеже всички принадлежат на допустимите стойности за [tex]\alpha[/tex], то след връщане в полагането окончателно получаваме трите реални корена на оригиналното уравнение: $$x=\cos\left(\dfrac{7\pi}{9}\right)\cup x=\dfrac{1}{2}\cup x=\cos\left(\dfrac{\pi}{9}\right)$$

[nikola.topalov]

Малка поправка:

...И така получаваме уравнението $$2\sqrt{3}\cos(\alpha)|\sin(\alpha)|=1+2\cos(\alpha)-2\cos^2(\alpha)$$...