Ясно е,че задачата е давана на кандидат-студентски изпит,което предполага,че се решава със знанията по математика придобити в масовите училища,а не със знанията на студенти завършили поне 1 курс.Уважавам знанията на колегата nikola.topalov ,но ще се опитам да представя решение на задачата,като се огранича върху материала,който се изучава до 12 клас,за да бъде полезно на всички ученици,които все още не са изучавали Висша математика.[tex]f(x) = x^{2 } - 2x +1[/tex] е парабола, която е дефинирана за [tex]x \in (- \infty ; + \infty )[/tex]
За стойностите [tex]x \in (- \infty ,1)[/tex] тя намалява, за $x=1$ достига своя минимум и за [tex]x \in (1; + \infty)[/tex] расте.
За $x= 0 , f(x) = 1$
Ще разгледам два случая :$x < 1$ и $x>1$
Първи случай:$$x < 1$$
- Без заглавие - 2022-08-25T200945.581.png (633.74 KiB) Прегледано 1696 пъти
а)Нека [tex]\angle OBA = \beta \Rightarrow \angle OAB = \frac{ \pi }{2} - \beta[/tex]
Нека тангента,която търсим пресича $OA$ в т. $M$ и $OB$ в т. $N$,така,че да отсича от [tex]\triangle OAB[/tex] четириъгълник $MABN$ около който може да се опише окръжност.Тогава [tex]\angle NMA = \pi - \beta[/tex]
От [tex]\triangle OAB \rightarrow \tg \beta = \frac{OA}{OB} = \frac{2m}{m} = 2[/tex]
[tex]f(x) = x^{2 } - 2x + 1 \Rightarrow f(x)' = 2x -2 = \tg( \pi - \beta)[/tex]
[tex]\tg \beta = 2 \Rightarrow \tg( \pi - \beta ) = -2 \Rightarrow 2x - 2 = -2 \Rightarrow x = 0, f(x) = 1[/tex]
Получи се,че [tex]T_{0 }( x_{0 }, f( x_{0 } ) \equiv T_{0 } (0,1)[/tex]
Това е точката в която параболата пресича ординатата и [tex]MN = M T_{0 }[/tex] т.е. за да отсече тангентата искания четириъгълник то [tex]Т_{0 } \equiv N[/tex]
б)От [tex]\triangle OMN \rightarrow \tg \beta = \frac{ON}{OM} \Leftrightarrow 2 = \frac{1}{OM} \Rightarrow OM = \frac{1}{2} \Rightarrow S_{OMN } = \frac{1}{4}[/tex]
[tex]S_{OAB } = m^{2 }[/tex]
[tex]S_{OAB } - S_{OMN } = \frac{11}{4} \Rightarrow S_{OAB } = \frac{12}{4} \Leftrightarrow m^{2 } = 3 \Rightarrow m = \pm \sqrt{3},m>1 \Rightarrow m = \sqrt{3}[/tex]
Тогава [tex]OA = 2 \sqrt{3},OB = \sqrt{3}[/tex]
[tex]OM = \frac{1}{2} \Rightarrow MA = \frac{4 \sqrt{3} - 1 }{2}[/tex]
За да намеря радиуса на описаната окръжност, за [tex]\triangle MAN[/tex] ще приложа Синусова теорема:
[tex]\frac{AN}{\sin ( \pi - \beta )} = 2R[/tex]
За [tex]\triangle OAN[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AN^{2 } = ON^{2 } + OA^{2 } \Leftrightarrow AN^{2 } = 1 + 12 \Rightarrow AN = \sqrt{13}[/tex]
[tex]\tg( \pi - \beta ) = -2 \Leftrightarrow \frac{\sin( \pi - \beta) }{\cos( \pi - \beta )} = -2 \Leftrightarrow \sin( \pi - \beta) = -2\cos( \pi - \beta )[/tex]
[tex]\sin^{2 }( \pi - \beta) + \cos^{2 }( \pi - \beta ) = 1 \Leftrightarrow 5 \cos^{2 }( \pi - \beta) = 1 \Rightarrow \cos( \pi - \beta ) = - \frac{ \sqrt{5} }{5} \Rightarrow \sin( \pi - \beta ) = \frac{2 \sqrt{5} }{5}[/tex]
Тогава от [tex]\displaystyle\frac{AN}{\sin( \pi - \beta) } =2R \rightarrow \displaystyle \frac{ \sqrt{13} }{\displaystyle \frac{ \sqrt{5} }{5} }[/tex]
[tex]\Rightarrow 2R = \frac{ \sqrt{65} }{2} \Rightarrow R = \frac{ \sqrt{65} }{4}[/tex]
Втори случай:$$x > 1$$
- Без заглавие - 2022-08-24T160039.522.png (651.72 KiB) Прегледано 1696 пъти
а) [tex]\angle ABO = \beta \Rightarrow \angle OBA = \frac{ \pi }{2} - \beta[/tex]
Нека тангентата,която търсим е $t$ ,такава,която да отсича от [tex]\triangle OAB[/tex] четириъгълник около който може да се опише окръжност.
[tex]t \bot t AB ,t \cap OA = M , t \cap AB = N[/tex]
[tex]\triangle MAN \approx \triangle OAB \Rightarrow \angle NMA = \beta[/tex]
[tex]f(x) = x^{2 } - 2x + 1 \Rightarrow f'(x) = 2x - 2 = \tg \beta[/tex]
От [tex]\triangle OAB \rightarrow \tg \beta = \frac{OA}{OB} \Leftrightarrow \tg \beta = \frac{2m}{m} \Rightarrow \tg \beta = 2[/tex]
[tex]f'(x) = \tg \beta \Rightarrow 2x - 2 = 2 \Rightarrow x_{0 } = x = 2 , f( x_{0 }) = f(x) = 1[/tex]
$$T_{0 } (2,1)$$
б)
Нека т.$H$ е ортогоналната проекция на т.[tex]T_{0 }[/tex] върху абцисата.Тогава [tex]T_{0 }H = 1 , H(2;0)[/tex]
От [tex]\triangle MH T_{0 } \rightarrow \frac{ T_{0 }H }{MH} = \tg \beta \Leftrightarrow \frac{1}{MH}= 2 \Rightarrow MH = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]OM = OH - MH \Leftrightarrow OM = 2 - \frac{1}{2} \Rightarrow OM = \frac{3}{2}[/tex]
[tex]AM = OA - OM = 2m - \frac{1}{2} \Rightarrow AM = \frac{4m - 3}{2}[/tex]
От подобието на [tex]\triangle AMN[/tex] и [tex]\triangle OAB \rightarrow[/tex]
[tex]\frac{ S_{AMN } }{ S_{OAB } } = ( \frac{AM}{AB}) ^{2 }[/tex]
[tex]S_{OAB } = m^{2 } ,AB = m \sqrt{5}[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{ S_{AMN } }{ m^{2 }} = \displaystyle \frac{\displaystyle ( \frac{4m-3}{2} )^{2 } }{5 m^{2 } } \Rightarrow[/tex]
[tex]S_{MAN } = \frac{16 x^{2 } - 24m + 9 }{20}[/tex]
[tex]S_{MAN } = S_{OAB } - S_{OMNB } \Leftrightarrow \frac{16 x^{2 } - 24m + 9 }{20} = m^{2 } - \frac{11}{4} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]m^{2 } + 6m -16 = 0 ,D = 100 , m_{1 ,2} = \frac{-6 \pm 10}{2} , m_{1 } = -8<1 , m_{2 } = 2 > 1[/tex]
[tex]2R = MB[/tex]
[tex]OB = m = 2 , OM = \frac{3}{2}[/tex]
За [tex]\triangle MOB[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]MB^{2 } = OB^{2 } + OM^{2 } \Leftrightarrow 4 R^{2 } = 4 + \frac{9}{4} \Leftrightarrow 4 R^{2 } = \frac{25}{4} \Rightarrow R^{2 } = \frac{25}{16}[/tex]
$$R = \frac{5}{4}$$
Никой любовен роман не е разплакал толкова много хора,колкото учебникът по математика.
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
от S.B. » 25 Авг 2022, 13:36 
Всички тези знания са придобити от профилираната подготовка по математика в 11. и 12. клас. Пък и доколкото знам кандидат-студентските изпити могат да се решават и със знания, различни от изучаваните в училище (стига разсъжденията да са верни). И все пак благодаря за хубавото решение, наистина трябва да може да бъде разбираемо за всички дванадесетокласници.
Меню