За почитателите на стереометрията

[S.B.]

Даден е кубът [tex]ABCD A_{1 } B_{1 } C_{1 } D_{1 }[/tex] с ръб $a$.Точката $E$ е среда на ръба [tex]C_{1 } D_{1 }[/tex],а точката $F$ - средата на [tex]B_{1 } C_{1 }[/tex]
Намерете радиуса на сфера ,която минава през точките $E$,$F$,$A$ и $C$.

Скрит текст: покажи

"Учбник по математика за 11 клас на средното общообразователно училище", издателство "Просвета" 1991 г.
Авторски колектив: З.Запрянов,И.Димовски,Г.Станилов,Р.Русев,К.Коларов
Не се изучава "Аналитична геометрия"

[KOPMOPAH]

Хубава задачка, с аналитична геометрия се решава на два реда, ама ще я боря с конвенционални средства, достъпни за 11 клас

[S.B.]

Отговорът ,който е даден е :
$$R = \frac{a}{8} \sqrt{41}$$

[nikola.topalov]

Ще разгледам куб със страна [tex]2a[/tex], за да поизбегна работа с дроби. И така да поработим малко в куба: с [tex]Q[/tex] си означавам ортогоналната проекция на [tex]F[/tex] върху [tex](ABC)[/tex]. Обособява се правоъгълен триъгълник [tex]AQF[/tex], в който [tex]AQ=\sqrt{5}a[/tex] и [tex]QF=2a[/tex] и от който намираме [tex]AF=AE=3a[/tex]. Отделно [tex]AC=2EF=2\sqrt{2}a[/tex] и [tex]EC=FC=2\sqrt{5}a[/tex] от правоъгълните [tex]\triangle ECC_1[/tex] и [tex]FCC_1[/tex]. Сега търсим радиусът на описаната сфера около пирамидата [tex]EFCA[/tex], чиито страни вече са ни известни. Ето и чертеж, преди да продължа:

geogebra-export (54).png (65.58 KiB) Прегледано 1502 пъти

Нека [tex]CP[/tex] е диаметър на описаната окръжност около [tex]\triangle EFC[/tex]. Лесно се доказва, че центърът на описаната сфера лежи в равнината [tex](CPA)[/tex], т.е. търсим радиуса на описаната окръжност около [tex]\triangle CPA[/tex], която е голяма окръжност за сферата. Намираме [tex]\sin\measuredangle CEF= \dfrac{3}{\sqrt{10}}[/tex] от двата еднакви правоъгълни триъгълника, на които височината през върха [tex]C[/tex] разделя [tex]\triangle CEF[/tex], откъдето по синусова теорема за [tex]\triangle CEF[/tex] намираме [tex]CP=\dfrac{5\sqrt{2}}{3}a[/tex]. Остана да намерим [tex]\sin\measuredangle ACP[/tex] и сме почти готови. Тъй като [tex]\cos\measuredangle PCE=\dfrac{3}{\sqrt{10}}[/tex] и [tex]\cos\measuredangle ACE=\dfrac{1}{\sqrt{10}}[/tex] (от косинусова теорема за [tex]\triangle ACE[/tex]), то от теоремата за трите косинуса намираме [tex]\cos\measuredangle ACP=\dfrac{1}{3}[/tex] и съответно [tex]\sin\measuredangle ACP=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]. Прилагаме последователно косинусова и синусова теорема за [tex]\triangle ACP[/tex], откъдето [tex]AP=\dfrac{\sqrt{82}}{3}a[/tex] и [tex]R=\dfrac{\sqrt{41}}{4}a[/tex]. Понеже работим в куб със страна [tex]2a[/tex], то за куб с два пъти по-малка страна радиусът ще бъде равен на [tex]R=\dfrac{\sqrt{41}}{8}a[/tex].

[S.B.]

Ето и моето решение :

Без заглавие - 2022-09-25T121134.335.png (247.24 KiB) Прегледано 1473 пъти

Центърът на сферата е пресечната точка на симетралните равнини на отсечките,образувани от четирите точки.Пресечницата на симетралните равнини на отсечките $EF$ и $AC$ е [tex]O_{1 } O_{2 }[/tex] и центърът $O$ на търсената сфера принадлежи на [tex]O_{1 } O_{2 }[/tex].Предстои да намерим къде точно е позициониран.
Нека [tex]O\in O_{1 } O_{2 }[/tex] ,като [tex]OO_{1 } = x , O O_{2 } = y,OA = OC = OF = OE = R[/tex] (защото тези точки лежат на сферата)
[tex]AC = a \sqrt{2} , O_{1 }C = \frac{a \sqrt{2} }{2} ,EF = \frac{a \sqrt{2} }{2}, O_{2 }F = O_{2 } E = \frac{a}{2}[/tex] ( защото [tex]O_{1 }F C_{1 }E[/tex] е квадрат)

За [tex]\triangle O_{1 }OC[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]OC^{2 } - O_{1 } C^{2 } = O O_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow R^{2 } - ( \frac{a \sqrt{2} }{2} )^{2 } = x^{2 }[/tex]
За [tex]\triangle O O_{2 }F[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]OF^{2 } - O_{2 }F ^{2 } = O O_{2 } ^{2 } \Leftrightarrow R^{2 } - ( \frac{a}{2}) ^{2 } = y^{2 }[/tex]
Образувам система:
[tex]\begin{array}{|l} x + y = a \\ y^{2 } = R^{2 } - ( \displaystyle\frac{a}{2}) ^{2 }\\ x^{2 } = R^{2 } - ( \displaystyle\frac{a \sqrt{2} }{2} )^{2 } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y = a - x \\ y^{2 } = R^{2 } - \displaystyle \frac{ a^{2 } }{4}\\ x^{2 } = R^{2 } - \displaystyle \frac{2 a^{2 } }{4} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (a - x)^{2 } = R^{2 }- \displaystyle \frac{ a^{2 } }{4} \\ x^{2 } = R^{2 } - \displaystyle\frac{2 a^{2 } }{4} \end{array}[/tex]
Изваждам почленно и получавам:
[tex](a - x)^{2 } - x^{2 } = - \frac{ a^{2 } }{4} + \frac{2 a^{2 } }{4} \Leftrightarrow a^{2 }- 2ax = \frac{ a^{2 } }{4} \Leftrightarrow 2ax = \frac{3 a^{2 } }{4} \Rightarrow x = \frac{3a}{8}[/tex]
[tex]\begin{cases} x = \displaystyle \frac{3a}{8} \\ x^{2 } = R^{2 } - \displaystyle\frac{2 a^{2 } }{4} \end{cases} \Rightarrow R^{2 } = \displaystyle\frac{41 a^{2 } }{64}[/tex]
$$\Rightarrow R = \frac{a}{8} \sqrt{41} $$

[nikola.topalov]

Страхотно решение!