Радиус на вписано кълбо

[S.B.]

В правилна четириъгълна пирамида,двустенният ъгъл между две съседни околни стени е [tex]\varphi[/tex],а височината на пирамидата е $h$.Да се намери радиусът на вписаното в пирамидата кълбо.

Скрит текст: покажи

Сборник от 30 кандидатстудентски теми по математика,УНСС 2001г.Автори Добромир Тодоров и Кирил Николов

[S.B.]

Без заглавие - 2022-10-12T201955.310.png (432.81 KiB) Прегледано 1375 пъти

[tex]ABCDM[/tex] - правилна четириъгълна пирамида,
Височината $MH = h$ ,[tex]\angle (DCM,BCM) = \varphi[/tex]
Нека осн. ръб $AB = BC=CD=DA = a$ , апотемата [tex]M M_{1 } = M M_{2 } = k[/tex],а радиусът на вписаното кълбо е $r$

Построявам сечението [tex]M_{1 }M M_{2 }[/tex] по апотемите [tex]M_{1 }M[/tex] и [tex]M_{2 }M[/tex] на пирамидата.Сечението на вписаното кълбо се явява вписана окръжност в [tex]\triangle M_{1 }M M_{2 }[/tex]
[tex]\triangle H M_{2 }M \approx \triangle OTM[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{OT}{H M_{2 } } = \displaystyle\frac{OM}{M M_{2 } } \Leftrightarrow \displaystyle \frac{r}{\displaystyle \frac{a}{2} }=\displaystyle \frac{h - r}{k}[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{ah}{2k + a} $$

[tex]DP \bot CM , BP \bot CM , \angle DPC = \varphi , \triangle DPC[/tex] е равнобедрен,$PH$ е медиана ,височина ,ъглополовяща.
Нека [tex]\angle PCH = \alpha[/tex]
Ще изразя много по-удобния [tex]\angle \alpha[/tex],който е между околен ръб и равнината на основата чрез дадения [tex]\angle \varphi[/tex]
От [tex]\triangle PHB \rightarrow \frac{PH}{HB} = \cotg \frac{ \varphi }{2} \Rightarrow PH = HB.\cotg \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow PH = \frac{a \sqrt{2} }{2} \cotg \frac{ \varphi }{2}[/tex]

От [tex]\triangle PHC \rightarrow \frac{PH}{HC} = \sin \alpha \Rightarrow PH = HC.\sin \alpha \Leftrightarrow PH = \frac{a \sqrt{2} }{2} \sin \alpha[/tex]


От[tex]\begin{cases} PH = \displaystyle \frac{a \sqrt{2} }{2} . \cotg \displaystyle\frac{ \varphi }{2} \\ PH = \displaystyle\frac{a \sqrt{2} }{2} \sin \alpha \end{cases} \Rightarrow \cotg \displaystyle\frac{ \varphi }{2} = \sin \alpha[/tex]

[tex]\sin \alpha = \cotg \frac{ \varphi }{2} , \cos \alpha = \sqrt{1 - \cotg^{2 } \frac{ \varphi }{2} }[/tex]
[tex]\cotg \alpha = \frac{ \sqrt{1 - \cotg^{2 } \frac{ \varphi }{2} } }{\cotg \frac{ \varphi }{2} } = \frac{ \sqrt{ \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} - \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} } }{\cos \frac{ \varphi }{2} } = \frac{ \sqrt{- \cos \varphi } }{\cos \frac{ \varphi }{2} }[/tex]

От [tex]\triangle HCM :[/tex]
[tex]\frac{HC}{HM} = \cotg \alpha \Rightarrow HC = HM.\cotg \alpha \Leftrightarrow \frac{a \sqrt{2} }{2} = h.\cotg \alpha[/tex]
$$\Rightarrow a = \frac{h \sqrt{2} \sqrt{- \cos \varphi } }{\cos \frac{ \varphi }{2} } $$
За [tex]\triangle HM M_{1 }[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]MM_{1 } ^{2 } = MH^{2 } + M_{1 }H ^{2 } \Leftrightarrow k^{2 } = h^{2 } + ( \frac{a}{2} )^{2 } \Leftrightarrow k^{2 } = h^{2 } + \frac{2 h^{2 }( \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} - \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2}) }{4 \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} } \Leftrightarrow[/tex]
[tex]k^{2 } = \frac{ h^{2 } }{2 \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} }(2 \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} + \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} - \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2}) = \frac{ h^{2 } }{2 \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} } ( \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} + \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} )[/tex]
$$\Rightarrow k = \frac{h \sqrt{2} }{2\cos \frac{ \varphi }{2} } $$
Така получените изрази за $a$ и $k$ замествам в [tex]r = \frac{ah}{2k + a}[/tex] и след преработване получавам:
$$r = \frac{h \sqrt{- \cos \varphi } }{1 + \sqrt{-\cos \varphi } }$$