Точно две решения!

[S.B.]

Дадена е системата уравнения:
$$\begin{array}{|l} x^{2 }+ 2kx - k^{2 } + 2k +3 = 0\\ y^{2 } - 2y - x = 0 \end{array}$$
където $k$ е реален параметър.
Да се намерят всички стойности на $k$,при които системата има точно две решения.

[ptj]

По принцип има само дава варианта :
- или един (двоен) корен за [tex]y[/tex] и два за [tex]x[/tex].
- или обратното : един (двоен за x) и два за [tex]y[/tex].

Първия случай, съответсва на дискринанта на второто уравнение (спрямо y) равна на 0, т.е.
[tex]1+x=0 \Leftrightarrow x=-1[/tex]. Тук няма решение, защото получихме най-много една стойност за [tex]x[/tex] (няма смисъл да разглеждаме първото уравнение).

Втория случай:
Второто уравнение има точно два корена за [tex]y[/tex] при положителна дискриминанта, т.е.
[tex]1+x>0 \Leftrightarrow x>-1[/tex].
Връщаме се в първото уравнение за да намерим кога то има точно един корен за [tex]x[/tex] и дали той е по-голям от -1.
Неговата дискриминанта спрямо [tex]x[/tex] трябва да е равна на нула 0, т.е. [tex]2k^2-2k-3=0 \Leftrightarrow k= \frac{1 \pm \sqrt{7} }{2}[/tex].
Първото уравнение при нулева дискриманата се трансформира в [tex](x+k)^2=0 \Leftrightarrow x=-k[/tex].
От така намерените стойноисти единствено [tex]x= \frac{-1+ \sqrt{7} }{2} >-1[/tex] (ограничението от второто уравнение).

Отоговор : Единствено [tex]k= \frac{1 - \sqrt{7} }{2}[/tex] дава две решения за изходната система уравнения.

П.П. Прекалено лесна е за да е тук.

[S.B.]

П.П. Прекалено лесна е за да е тук.

Прекалено повърхностно решение .
Отговорът е:
[tex]k \in (- \infty ; -2) \cup (+2;+ \infty) \cup[/tex] {[tex]\frac{1 - \sqrt{7} }{2}[/tex]}
Кандидатстудентски конкурс по математика
СУ "Климент Охридски
14 юли 1999 г

[math10.com]

@ptj
Грешиш във втория случай.Не е задължително дискриминантата на 1-вото уравнение да е 0.
Достатъчно е [tex]D \ge 0[/tex], като точно единия корен за [tex]x > -1[/tex]

А относно трудността мисля,че кандидатстудентска задача не е подходяща, за задача на седмицата, колкото и да са трудни кандидатстудентските задачи от миналия век в сравнение със сегашните.Според мен задачите за олимпиади трябва да изискват умения и творчество, а не само знания и концентрация.

[ptj]

Благодаря за забележката. Наистина съм пропуснал споменатата възможност. Ще я добавя по-късно.

[ins-]

math10.com, някои кандидатстудентски задачи са и олимпийски. Дават ги на общински кръг на НОМ.

[ptj]

Разгледания от мен втори случай ( един корен за [tex]x[/tex] и два за [tex]y[/tex]) има и друг подслучай:

Имаенно : две корена за [tex]x[/tex] от първото уравнение, като за всеки от тях дискриминанната на второто уравнение (спрямо y) e ненулева и с различен знак.
Т.е. едното [tex]x[/tex] ще съответства на два корена за [tex]y[/tex], a за другото [tex]x[/tex] няма да има реални корени за [tex]y[/tex].

Първото уравнение има два корена за [tex]x[/tex] точно когато неговата дискриминанта спрямо [tex]x[/tex] е положителна, т.е.

[tex]2k^2-2k-3>0 \Leftrightarrow (k- \frac{1+ \sqrt{7} }{2})(k- \frac{1- \sqrt{7} }{2})>0[/tex].

Понеже дискриминантата на второто уравнение (спрямо [tex]y[/tex]) си сменя знака при x=-1,
тo искаме [tex]-1[/tex] да се намира между двата намерени корена за [tex]x[/tex] от първото уравнение, т.е.

[tex](-1)^2+2k(-1)-k^2+2k+3<0 \Leftrightarrow k^2-4>0 \Leftrightarrow (k+2)(k-2)>0[/tex].

Остава да намерим сечението на двете двойки намерени интервали за [tex]k[/tex]:

[tex]\Big((-\infty; -\frac{1+\sqrt{7} }{2} ) \cup ( \frac{1- \sqrt{7} }{2};\infty)\Big) \cap \Big((-\infty;-2) \cup(2;+\infty)\Big)=\Big((-\infty;-2) \cup(2;+\infty)\Big)[/tex]

[Gruicho]

Защо давате точки за непълно решение?

[S.B.]

Защо давате точки за непълно решение?

Въпрос на вкус и разбиране!

[S.B.]

Дадена е системата уравнения:
$$\begin{array}{|l} x^{2 }+ 2kx - k^{2 } + 2k +3 = 0\\ y^{2 } - 2y - x = 0 \end{array}$$
където $k$ е реален параметър.
Да се намерят всички стойности на $k$,при които системата има точно две решения.

Ето и моето решение:
[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + 2kx - k^{2 } + 2k +3 = 0 \\ y^{2 }-2y -x = 0 \end{array}[/tex]
Разглеждам първото уравнение:
[tex]D = 2 k^{2 } - 2k - 3 \ge 0[/tex]


Първи случай : $D>0$

Тогава съществуват [tex]x_{1 } \ne x_{2 }[/tex] и за второто уравнение се получават два случая:

1) [tex]y^{2 } - 2y - x_{1 } = 0[/tex] с дискриминанта [tex]D_{1 } = 1 + x_{1 }[/tex]
2) [tex]y^{2 } - 2y - x_{2 } = 0[/tex] с дискриминанта [tex]D_{2 } = 1 + x_{2 }[/tex]

Лесно се вижда ,че
за [tex]\begin{cases} x_{1 } < - 1 \\ x_{2 } < -1 \end{cases}[/tex] системата няма да има решение
за [tex]\begin{cases} x_{1 }= -1 \\ x_{2 } < -1 \end{cases}[/tex] има едно решение
за [tex]x_{1 } = x_{2 } = - 1[/tex] има едно решение
Ако [tex]D_{1 }> 0 \Rightarrow x_{1 } > - 1 \Rightarrow[/tex] съществуват 2 корена : [tex]y_{1 } \ne y_{2 } \Rightarrow[/tex] две двойки решения:
[tex]( x_{1 } ; y_{1 } ) , ( x_{1 }; y_{2 })[/tex]
Тогава ,за да се получат точно $2$ решения ,е необходимо [tex]D_{2 } = 1 + x_{2 }< 0 \Rightarrow x_{2 }< 1[/tex]
Т.е. за да имаме точно 2 двойки решения когато $D>0 $ и [tex]x_{1 } \ne x_{2 }[/tex] е необходимо:
$$x_{2 } < -1 < x_{1 } $$
Нека [tex]f(x) = k^{2 } + 2kx - k^{2 } + 2k + 3[/tex]
[tex]x_{2 } < - 1 < x_{2 } \Leftrightarrow f(-1)< 0[/tex]
[tex]f(-1) <0 \Leftrightarrow 1 - 2k - k^{2 } + 2k + 3 < 0 \Leftrightarrow 4 - k^{2 } < 0 \Leftrightarrow k^{2 } - 4 > 0 \Leftrightarrow (2 + k)(2 - k) >0[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]k \in ( - \infty ; - 2) \cup (2 ; + \infty )[/tex] системата има точно 2 двойки решения

Втори случай: $D = 0$

Уравнението има един двоен корен [tex]x_{1 } = x_{2 }[/tex]
За да има решение е необходимо [tex]x_{1 } = x_{2 } > - 1[/tex]
[tex]D = 2 k^{2 } - 2k - 3 = 0 , k_{1,2 } = \frac{1 \pm \sqrt{7} }{2}[/tex]
[tex]x_{1 } = x_{2 } = \frac{- b}{2a} = \frac{-2k}{2} = -k[/tex]
[tex]x_{1 } = x_{2 } = -k[/tex]
[tex]x_{1 } = x_{2 } = - k_{1 } = - \frac{1 + \sqrt{7} }{2} = \frac{-1 - \sqrt{7} }{2} < - 1 \Rightarrow[/tex] не може да е решение
[tex]x_{1 }= x_{2 } = - k_{2 } = - \frac{1 - \sqrt{7} }{2} = \frac{ \sqrt{7} - 1 }{2} > - 1 \Rightarrow[/tex] единствено решение
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]D= 0[/tex] точно две двойки решения ще имаме за [tex]k = \frac{ \sqrt{7} - 1 }{2}[/tex]

Окончателно: Системата ще има точно две решения за
$$k \in ( - \infty ; -2) \cup (2;+ \infty ) \cup { \frac{ \sqrt{7} - 1 }{2}}$$

[S.B.]

Дадена е системата уравнения:
$$\begin{array}{|l} x^{2 }+ 2kx - k^{2 } + 2k +3 = 0\\ y^{2 } - 2y - x = 0 \end{array}$$
където $k$ е реален параметър.
Да се намерят всички стойности на $k$,при които системата има точно две решения.

Ето и моето решение:
[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + 2kx - k^{2 } + 2k +3 = 0 \\ y^{2 }-2y -x = 0 \end{array}[/tex]
Разглеждам първото уравнение:
[tex]D = 2 k^{2 } - 2k - 3 \ge 0[/tex]


Първи случай : $D>0$

Тогава съществуват [tex]x_{1 } \ne x_{2 }[/tex] и за второто уравнение се получават два случая:

1) [tex]y^{2 } - 2y - x_{1 } = 0[/tex] с дискриминанта [tex]D_{1 } = 1 + x_{1 }[/tex]
2) [tex]y^{2 } - 2y - x_{2 } = 0[/tex] с дискриминанта [tex]D_{2 } = 1 + x_{2 }[/tex]

Лесно се вижда ,че
за [tex]\begin{cases} x_{1 } < - 1 \\ x_{2 } < -1 \end{cases}[/tex] системата няма да има решение
за [tex]\begin{cases} x_{1 }= -1 \\ x_{2 } < -1 \end{cases}[/tex] има едно решение
за [tex]x_{1 } = x_{2 } = - 1[/tex] има едно решение
Ако [tex]D_{1 }> 0 \Rightarrow x_{1 } > - 1 \Rightarrow[/tex] съществуват 2 корена : [tex]y_{1 } \ne y_{2 } \Rightarrow[/tex] две двойки решения:
[tex]( x_{1 } ; y_{1 } ) , ( x_{1 }; y_{2 })[/tex]
Тогава ,за да се получат точно $2$ решения ,е необходимо [tex]D_{2 } = 1 + x_{2 }< 0 \Rightarrow x_{2 }< 1[/tex]
Т.е. за да имаме точно 2 двойки решения когато $D>0 $ и [tex]x_{1 } \ne x_{2 }[/tex] е необходимо:
$$x_{2 } < -1 < x_{1 } $$
Нека [tex]f(x) = k^{2 } + 2kx - k^{2 } + 2k + 3[/tex]
[tex]x_{2 } < - 1 < x_{2 } \Leftrightarrow f(-1)< 0[/tex]
[tex]f(-1) <0 \Leftrightarrow 1 - 2k - k^{2 } + 2k + 3 < 0 \Leftrightarrow 4 - k^{2 } < 0 \Leftrightarrow k^{2 } - 4 > 0 \Leftrightarrow (2 + k)(2 - k) >0[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]k \in ( - \infty ; - 2) \cup (2 ; + \infty )[/tex] системата има точно 2 двойки решения

Втори случай: $D = 0$

Уравнението има един двоен корен [tex]x_{1 } = x_{2 }[/tex]
За да има решение е необходимо [tex]x_{1 } = x_{2 } > - 1[/tex]
[tex]D = 2 k^{2 } - 2k - 3 = 0 , k_{1,2 } = \frac{1 \pm \sqrt{7} }{2}[/tex]
[tex]x_{1 } = x_{2 } = \frac{- b}{2a} = \frac{-2k}{2} = -k[/tex]
[tex]x_{1 } =
[tex]x_{1 } = x_{2 } = - k_{1 } = - \frac{1 + \sqrt{7} }{2} = \frac{-1 - \sqrt{7} }{2} < - 1 \Rightarrow[/tex] не може да е решение
[tex]x_{1 }= x_{2 } = - k_{2 } = - \frac{1 - \sqrt{7} }{2} = \frac{ \sqrt{7} - 1 }{2} > - 1 \Rightarrow[/tex] единствено решение
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]D= 0[/tex] точно две двойки решения ще имаме за [tex]k = \frac{ \sqrt{7} - 1 }{2}[/tex]

Окончателно: Системата ще има точно две решения за
$$k \in ( - \infty ; -2) \cup (2;+ \infty ) \cup { \frac{ \sqrt{7} - 1 }{2}}$$

Снощи съм пропуснала нещо много съществено когато определям $D$,което трябва да добавя:
[tex]D = 2 k^{2 } - 2k -3 \ge 0 \Leftrightarrow 2(k - \frac{1 + \sqrt{7} }{2})(k + \frac{1 - \sqrt{7} }{2}) \ge 0 \Leftrightarrow 2(k - 1,82)(k + 0,82) \ge 0[/tex]
[tex]\Rightarrow k \in ( - \infty; - 0,82] \cup [1,82;+ \infty)[/tex]
Този резултат използвам при разглеждането на първия случай ,след когато намеря резултата от [tex]f(-1) <0[/tex], а именно
от [tex]\begin{array}{|l} k \in (- \infty;-0,82] \cup[1,82;+ \infty) \\ k \in (- \infty ;-2) \cup ( 2;+ \infty )\end{array} \Rightarrow k \in (- \infty;-2) \cup (2;+ \infty )[/tex]
Извинявам се!