Намерете отношението...

[S.B.]

Основата на тетраедер е равностранен триъгълник.Една от околните стени е перпендикулярна на основата,а лицата на другите околни стени са [tex]S_{1 }[/tex] и [tex]S_{2 }[/tex]. Намерете отношението ,в което петата на височината на пирамидата дели основния ръб.

Скрит текст: покажи

Сборник "30 кандидатстудентски теми по математика"
Автори: Добромир Тодоров и Кирил Николов
УНСС - Университетска печатница
София ,2001 г.

[grav]

Проекциите на двете стени разделят основата на два триъгълника. Частното на лицата им е същото като това на лицата на околкоте стени. От друга страна частното на дъжините на който петата разделя основния ръб е състото като тези лица (защото височините са еднакви). Следователно е [tex]\frac{S_1}{S_2}.[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2022-11-07T160555.139.png (404 KiB) Прегледано 1675 пъти

Ще си позволя към чудесното обяснение на колегата grav да добавя от мен чертеж и няколко думи:

[tex]DH \bot (ABC)[/tex]
[tex]\triangle AHC[/tex] е ортогонална проекция на [tex]\triangle ADC[/tex] ,а [tex]\triangle BHC[/tex] е ортогонална проекция на [tex]\triangle BDC[/tex]

[tex]\frac{ S_{AHC } }{ S_{BHC } } = \frac{ S_{ACD } }{ S_{BCD } } = \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } }[/tex]

[tex]\frac{ S_{AHC } }{ S_{BHC } } = \frac{AH}{BH}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{AH}{BH} = \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } }[/tex]

[peyo]

Без заглавие - 2022-11-07T160555.139.png

Ще си позволя към чудесното обяснение на колегата grav да добавя от мен чертеж и няколко думи:

[tex]DH \bot (ABC)[/tex]
[tex]\triangle AHC[/tex] е ортогонална проекция на [tex]\triangle ADC[/tex] ,а [tex]\triangle BHC[/tex] е ортогонална проекция на [tex]\triangle BDC[/tex]

[tex]\frac{ S_{AHC } }{ S_{BHC } } = \frac{ S_{ACD } }{ S_{BCD } } = \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } }[/tex]

[tex]\frac{ S_{AHC } }{ S_{BHC } } = \frac{AH}{BH}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{AH}{BH} = \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } }[/tex]

Дали грешно разбирам условието? Когато D се намира точно отгоре на А, то AH = 0 и $\frac{AH}{BH} = 0 $ , но $ \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } } > 0$. Зависимостта от лицата трябва да е по-сложна.

[peyo]

Дали грешно разбирам условието? Когато D се намира точно отгоре на А, то AH = 0 и $\frac{AH}{BH} = 0 $ , но $ \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } } > 0$. Зависимостта от лицата трябва да е по-сложна.

Ok, като помислих повече съм сигурен, че задачата е нерешима, защото имаме случай когато отношението на $\frac{AH}{BH} $ не се променя, а отношението на лицата се променя, като променяме само височината. Например нека точката H е много близо до А. И нека височината е много малка близка до 0. Тогава лицето S1 същo ше бъде много малко и близко до 0, докато S2 ще има някаква обикновена стойност, например 5. И сега нека вдигнем височината много виско. Тогава двете лица S1 и S2 ще бъдат много близки едно до друго. Така отношението $ \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } }$ от 0 стана 1 без да променяме точка H.

[grav]

Дали грешно разбирам условието? Когато D се намира точно отгоре на А, то AH = 0 и $\frac{AH}{BH} = 0 $ , но $ \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } } > 0$. Зависимостта от лицата трябва да е по-сложна.

Ok, като помислих повече съм сигурен, че задачата е нерешима, защото имаме случай когато отношението на $\frac{AH}{BH} $ не се променя, а отношението на лицата се променя, като променяме само височината. Например нека точката H е много близо до А. И нека височината е много малка близка до 0. Тогава лицето S1 същo ше бъде много малко и близко до 0, докато S2 ще има някаква обикновена стойност, например 5. И сега нека вдигнем височината много виско. Тогава двете лица S1 и S2 ще бъдат много близки едно до друго. Така отношението $ \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } }$ от 0 стана 1 без да променяме точка H.

Да, прав си.

[S.B.]

Когато прочетох условието на задачата реших,че нещо липсва.После прочетох решението,което са дали авторите.То е същото което grav написа,а аз допълних с чертеж и математическия текст.Не ми се виждаше достоверно и очаквах вашето мнение,колеги.С интерес прочетох мнението на peyo.Аз обаче имам друго мнение.

Без заглавие - 2022-11-10T213638.309.png (346.86 KiB) Прегледано 1608 пъти

Нека ъглите [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са двустенните ъгли при основата

[tex]\triangle AHB[/tex] е ортогонална проекция на [tex]\triangle ADB[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{ S_{AHB } }{ S_{ADB } } = \cos \alpha \Leftrightarrow S_{AHB } = S_{1 }.\cos \alpha[/tex]

[tex]\triangle CHB[/tex] е ортогонална проекция на [tex]\triangle CDB[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{ S_{CHB } }{ S_{CDB } } = \cos \beta \Leftrightarrow S_{CHB } = S_{2 }.\cos \beta[/tex]
Деля почленно двете равенства и получавам:

[tex]\frac{ S_{AHB } }{ S_{CHB } } = \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } } . \frac{\cos \alpha }{\cos \beta }[/tex]

[tex]\frac{ S_{AHB } }{ S_{CHB } } = \frac{AH}{CH}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{AH}{CH} = \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } } . \frac{\cos \alpha }{\cos \beta }[/tex]

За да се получи отговора,който са дали авторите ще трябва [tex]\frac{\cos \alpha }{\cos \beta } = 1[/tex]
Това означава,че или двустенните ъгли при основата са равни ,което е частен случай ,
или [tex]H\equiv D[/tex] и тогава [tex]\alpha = 0, \beta=0 \Rightarrow \cos \alpha = 1 ,\cos \beta = 1[/tex]
Но тогава тетраедерът $ABCD$ няма да съществува - той ще се изроди в триъгълник.
Изпитвам огромно уважение към авторите ,но не можах да намеря обяснение на тяхното решение,което съм цитирала дословно в предишния ми пост.
Може и да греша в разсъжденията си.А може би някой от вас,колеги има обяснение?

[KOPMOPAH]

Задачата не е лоша, но ѝ липсва нещо, което да я "втвърди" и да може да се реши. В този вид е неопределена.