Теория на числата

[math10.com]

Попаднах на следната според мен интересна задача.

Съществува ли [tex]n-[/tex] цифрено число [tex]a[/tex] , такова че числото [tex]\overline{aa}[/tex] да бъде точен квадрат.

[pal702004]

$10^na+a=x^2$

$a(10^n+1)=x^2,\;\;\; 10^{n-1} \le a<10^n$

Няма да се спирам подробно на това защо $10^n+1$ не може да е точен квадрат, не е трудно за доказване, така че
$10^n+1=tu^2,a=tv^2$

от LTE е известно, че $11^2 \mid 10^{11}+1$ и това като че ли е най-малката степен, съдържаща квадрат, така че може да пробваме

$10^{11}+1=11^2\cdot 23\cdot 4093 \cdot 8779$ а значи

$a=23\cdot 4093 \cdot 8779\cdot t^2$

$10^{10} \le a<10^{11} \Rightarrow t \in [4;8]$

При $t=4$ получаваме $a=13223140496$

$1322314049613223140496=36363636364^2$

[Боян Ляпев]

10^33 + 1 се дели на 11^2 и от това се получава друго решение на задачата.

[pal702004]

10^33 + 1 се дели на 11^2 и от това се получава друго решение на задачата.

A $10^{21}+1$ се дели на $7^2$ и от това се получава още по-друго решние/решения на задачата, с 21-цифренi числa. А $10^{39}+1$ се дели на $13^2$ понеже $10^3 \equiv -1 \pmod 7, \pmod {13}$
и т.н. Тоест, решенията са безкрайно много, аз просто показах най-малкото от тях.

[Боян Ляпев]

Не съм опитен във областа на делимоста на целите числа,резултатите ги получих с калкулатор включен в операционната система на смартфоните,който калкулатор изчислява числа изразявани с хиляди цифри, без закръгляне/рязане на младши цифри.Калкулатора има възможност и за писане на числени алгебрични изрази и разбира се ги изчислява.Въобще много подходящ калкулатор.Ето два резултата относно задачата,намерени с калкулатора -
10^202 се дели на 101^2;
10^292 се дели на 73^2;

[Боян Ляпев]

10^33 + 1 се дели на 11^2 и от това се получава друго решение на задачата.

A $10^{21}+1$ се дели на $7^2$ и от това се получава още по-друго решние/решения на задачата, с 21-цифренi числa. А $10^{39}+1$ се дели на $13^2$ понеже $10^3 \equiv -1 \pmod 7, \pmod {13}$
и т.н. Тоест, решенията са безкрайно много, аз просто показах най-малкото от тях.

Не съм опитен във областа на делимоста на целите числа,резултатите ги получих с калкулатор включен в операционната система на смартфоните,който калкулатор изчислява числа изразявани с хиляди цифри, без закръгляне/рязане на младши цифри.Калкулатора има възможност и за писане на числени алгебрични изрази и разбира се ги изчислява.Въобще много подходящ калкулатор.Ето два резултата относно задачата,намерени с калкулатора -
10^202 се дели на 101^2;
10^292 се дели на 73^2;

[Боян Ляпев]

Зависимости относно задачата за "aa",които са самостоятелна задача за алгебрично обяснение -
10^21 + 1 се дели на 7^2 и 21 се дели точно на 7;
10^33 + 1 се дели на 11^2 и 33 се дели на 11;
10^202 + 1 се дели на 101^2 и 202 се дели на 101;
10^292+1 се дели на 73^2 и 292 се дели на 73.
От горните зависимости може да се предположи за кои цели х и у може да се провери дали 10^х се дели на у^2,със стандартния калкулатор на смартфон,за който калкулатор казах в по преден текст.