Сладка граница от ФМИ

[nikola.topalov]

Да се пресметне границата:

[tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x(1+x)\sqrt{1+4x}\cdot\cdot\cdot\sqrt[n]{1+n^2x}-x}{1-\cos(x)\cos(2x)\cdot\cdot\cdot\cos(nx)}, \ n\in\mathbb{N}[/tex]

[nikola.topalov]

Ще кача и моето решение за всеки случай, за да не си мислите, че ви карам да ми решавате домашното (задачата действително ни беше дадена за домашно, но там [tex]n[/tex] беше [tex]22[/tex]):

Скрит текст: покажи

Нека с [tex]L(n)[/tex] означим дадената граница. Имаме $$1-\prod_{k=1}^n \cos(kx)=1-\prod_{k=1}^n\left[1-2\sin^2\left(\dfrac{kx}{2}\right)\right]\sim 2\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{kx}{2}\right)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)x^2}{12}$$ откъдето $$L(n)=\dfrac{12}{n(n+1)(2n+1)}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\left[\prod_{k=1}^n (1+k^2x)^\frac{1}{k}-1\right]$$ Тъй като след граничен преход стигаме до неопределеност от вида [tex]\left[\dfrac{0}{0}\right][/tex], то можем да използваме правилото на Лопитал, по което получаваме $$L(n)=\dfrac{12}{n(n+1)(2n+1)}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{d}{dx}\left[\prod_{k=1}^n(1+k^2x)^\frac{1}{k}\right]$$ Да си означим за удобство [tex]f(x)=\prod_{k=1}^n(1+k^2x)^\frac{1}{k}[/tex]. Логаритмуваме и диференцираме последователно двете страни на равенството, откъдето $$\ln f(x)=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\ln(1+k^2x)\ \text{и}\ \dfrac{1}{f(x)}\cdot\dfrac{df}{dx}=\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{k^2x+1}$$ Тогава $$\dfrac{df}{dx}=\prod_{k=1}^n(1+k^2x)^\frac{1}{k}\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{k^2x+1}\right)\xrightarrow{x\to 0}\sum_{k=1}^n k$$
т.е. $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{df}{dx}=\dfrac{n(n+1)}{2}$$ В крайна сметка след заместване установяваме, че $$L(n)=\dfrac{6}{2n+1}$$

[pipi langstrump]

Делим двете страни на x^2. За знаменателя използваме тази тема -
viewtopic.php?f=65&t=7794

В числителя остава това
$\dfrac{(1+x)\sqrt{1+4x}\cdot\cdot\cdot\sqrt[n]{1+n^2x}-1}{x}$

Правим същата схема

$\dfrac{(1+x)\sqrt{1+4x}\cdot\cdot\cdot\sqrt[n]{1+n^2x}-1}{x} =$

$\dfrac{(1+x)\sqrt{1+4x}\cdot\cdot\cdot\sqrt[n]{1+n^2x}-(1+x) +x}{x}= $

$(1+x)\dfrac{\sqrt{1+4x}\cdot\cdot\cdot\sqrt[n]{1+n^2x}-1}{x} + 1 \rightarrow$

$1+\dfrac{\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1+9x} \cdot\cdot\cdot\sqrt[n]{1+n^2x}-\sqrt{1+4x} + \sqrt{1+4x} - 1}{x}= $

$1+ \frac{\sqrt{1+4x} - 1}{x}+ $

$\dfrac{\sqrt{1+4x}(\sqrt[3]{1+9x}\cdot\cdot\cdot\sqrt[n]{1+n^2x} - 1)}{x}\rightarrow...$

$1+ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+4x} - 1}{x} +...+ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1+n^2x} - 1}{x}$ и оттук вече е лесно.