Три сфери

[S.B.]

Три сфери се допират до равнината на [tex]\triangle ABC[/tex] в неговите върхове. Всяка сфера се допира и до останалите две.
Ако [tex]AB = 5,BC = 2 \sqrt{5} , AC = \sqrt{5}[/tex] и радиусите на сферите са различни,да се намери обема на многостена с върхове точките $A,B,C$ и центровете на сферите.

[math10.com]

3s.png (60.54 KiB) Прегледано 1300 пъти

С Питагорова теорема намираме трите радиуса:
[tex]\begin{array}{|l} (R_1+R_2)^2-(R_1-R_2)^2 = 5^2\\(R_1+R_3)^2-(R_1-R_3)^2 = (\sqrt 5)^2 \\ (R_2+R_3)^2-(R_2-R_3)^2 = (2\sqrt 5)^2 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} 4R_1R_2 =25\\4R_1R_3 =5\\ 4R_2R_3 = 20 \end{array} \Rightarrow R_1 = \frac{5}{4} ; R_2=5 ; R_3=1[/tex]

Сега за да намерим обема на получения многостен , ще намерим съответно обемите на призмата [tex]V_1=V_{ABCA_1O_2C_1}[/tex] и на пирамидата [tex]V_2=V_{O_1O_3C_1A_1O_2}[/tex].
Лесно се съобразява , че [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен [tex]\angle ACB=90 ^\circ[/tex].

[tex]V_1=S_{ABC}.R_2=\frac{1}{2}.(2\sqrt 5).(\sqrt 5). 5=25[/tex]
[tex]V_2=\frac{1}{3}.S_{A_1C_1O_3O_1}.O_2C_1=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}((R_2-R_1)+(R_2-R_3)).A_1C_1.C_1O_2=\frac{1}{6}.\frac{31}{4}.\sqrt{5}.2\sqrt{5}=\frac{155}{12}[/tex]

[tex]V=V_1-V_2=25-\frac{155}{12}=\frac{145}{12}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2022-12-27T201757.365.png (277.26 KiB) Прегледано 1240 пъти

Благодаря на колегата math10.com за вниманието!
Моето решение е почти същото.По същият начин намирам [tex]r_{1 } = \frac{5}{4}, r_{2 }= 5 , r_{3 } = 1[/tex]
Разликата се състои само в начина на определяне обема на тялото [tex]ABC O_{1 } O_{2 } O_{3 }[/tex]
Аз не допълвам тялото до призма, а построявам равнина през [tex]O_{3 }[/tex] успоредна на $ABC$,която пресича [tex]r_{1 }[/tex] и [tex]r_{2 }[/tex] съответно в точки [tex]A_{1 }[/tex] и [tex]B_{1 }[/tex]
По този начин разделям тялото [tex]ABC O_{1 } O_{2 } O_{3 }[/tex] на триъгълната призма [tex]ABC A_{1 } B_{1 } O_{3 }[/tex] и пирамидата [tex]A_{1 } B{1 } O_{2 } O_{1 } O_{3 }[/tex] с основа правоъгълния трапец [tex]A_{1 } B_{1 } O_{2 } O_{1 }[/tex] и връх [tex]O_{3 }[/tex]
[tex]V_{тялото } = V_{призмата } + V_{пирамидата } = \frac{145}{12}[/tex]