Система с логаритми

[ins-]

Да се реши (в реални числа) системата:
[tex]\begin{cases} x^{lgy}+y^{lgx}=2 \\ x^{lgx}+y^{lgy}=11 \end{cases}[/tex]

[grav]

Да се реши (в реални числа) системата:
[tex]\begin{cases} x^{lgy}+y^{lgx}=2 \\ x^{lgx}+y^{lgy}=11 \end{cases}[/tex]

[tex]x=10^a[/tex], [tex]y=10^b[/tex]

[tex]\begin{cases} 10^{ab}+10^{ab}=2 \\ 10^{a^2}+10^{b^2}=11 \end{cases}[/tex]

[S.B.]

Да се реши (в реални числа) системата:
[tex]\begin{cases} x^{lgy}+y^{lgx}=2 \\ x^{lgx}+y^{lgy}=11 \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x^{\lg y} + y^{\lg x } = 2 \\ x^{\lg x } + y^{\lg y } = 11 \end{array}[/tex]

Нека [tex]x^{\lg y } = u , y^{\lg x } = v[/tex]

[tex]x^{\lg y } = u \Leftrightarrow \lg x^{\lg y } = \lg u \Leftrightarrow \lg y.\lg x = \lg u[/tex]

[tex]y^{\lg x } = v \Leftrightarrow \lg y^{\lg x } = \lg v \Leftrightarrow \lg x.\lg y = \lg v[/tex]

[tex]\begin{cases} \lg y.\lg x = u \\ \lg x.\lg y = v \end{cases} \Rightarrow \lg u = \lg v \Rightarrow u = v[/tex]

[tex]\begin{cases} u = v \\ u + v = 2 \end{cases} \Rightarrow u = 1 , v = 1[/tex]

А)
[tex]\begin{cases} x^{\lg y }= u \\ u = 1 \end{cases} \Rightarrow x^{\lg y } = 1[/tex]

Има две възможности:
1)

$x = 1$ и [tex]\lg y = 1 \Leftrightarrow y = 10[/tex]

Тогава за второто уравнение се получава:

[tex]x^{\lg x } + y^{\lg y } = 11 \Leftrightarrow 1^{\lg 1 } + 10^{1 } = 1 + 10 = 11 \Rightarrow[/tex]

$$( x_{1 } = 1 ; y_{1 } = 10)$$

2)
[tex]\lg y = 0 \Leftrightarrow y = 1[/tex]

Замествам във второто уравнение:
[tex]x^{\lg x } + y^{\lg y } = 11 \Leftrightarrow x^{\lg x } + 1^{0 } = 11 \Rightarrow x^{\lg x } = 10[/tex]

[tex]\lg x^{\lg x } = \lg 10 \Leftrightarrow \lg x.\lg x = 1 \Leftrightarrow (\lg x) ^{2 } = 1 \Rightarrow \lg x = \pm 1[/tex]

Получавам двe двойки решения: $$( x_{2 } = 10 ; y_{2 } = 1)$$ $$( x_{3 } = \frac{1}{10} ; y_{3 } = 1)$$

Б)

[tex]\begin{cases} y^{\lg x } = v \\ v = 1 \end{cases} \Rightarrow y^{\lg x } = 1[/tex]

Има две възможности:
1)
[tex]y = 1[/tex] и [tex]\lg x = 1 \Leftrightarrow x = 10[/tex]

След заместване във второто уравнение се получава:

[tex]x^{\lg x } + y^{\lg y } = 11 \Leftrightarrow 10^{\lg 10 } + 1^{\lg 1 } = 10 + 1 = 11 \Rightarrow[/tex]
$$( x_{4 } = 10 , y_{4 } = 1)$$

2)
[tex]\lg x = 0 \Leftrightarrow x = 1[/tex]

Замествам във второто уравнение:

[tex]x^{\lg x } + y^{\lg y} = 11 \Leftrightarrow 1 + y^{\lg y } = 11 \Rightarrow y^{\lg y } = 10[/tex]

[tex]\lg y^{\lg y } = \lg 10 \Leftrightarrow \lg y.\lg y = 1 \Leftrightarrow (\lg y)^{2 } = 1 \Rightarrow \lg y = \pm 1[/tex]

Получават се две двойки решения:
$$( x_{5 } = 1 ; y_{5 } = 10)$$
$$( x_{6 } = 1; y_{6 } = \frac{1}{10} )$$

От получените шест двойки решения ,две двойки се дублират,така,че остават 4 двойки решения:
$$(1 ; 10) , (10;1) , ( \frac{1}{10}; 1) , ( 1; \frac{1}{10} )$$