Ромб

[S.B.]

Даден е ромб със страна $a$.Точка $M$ е среда на $AB$, а точка $K$ - среда на $AD$.
Ако [tex]\angle DMC = \gamma[/tex], да се определи лицето на [tex]\triangle MCK[/tex].

[mail_dinko]

Може и да сгреших в началото, но някак достигнах до остър ъгъл на ромба 60 градуса и лице на посочения триъгълник
[tex]S_{\triangle KMC} = \frac {3 \sqrt {3} a^2}{8}[/tex]

[KOPMOPAH]

...но някак достигнах до остър ъгъл на ромба 60 градуса ...

Няма как да е фиксиран ъгъл, в случая $60^\circ$, при параметър $\gamma$.

Отговорът трябва да е функция на $a$ и $\gamma$.

[Евва]

Получих [tex]S_{MCK }[/tex] =[tex]\frac{9a^{2 }tg \gamma }{32}[/tex]
Греша ли ?

[S.B.]

Може и да сгреших в началото, но някак достигнах до остър ъгъл на ромба 60 градуса и лице на посочения триъгълник
[tex]S_{\triangle KMC} = \frac {3 \sqrt {3} a^2}{8}[/tex]

От чисто професионално любопитство искам да науча как достигнахте до извода,че острият ъгъл на ромба е [tex]60 ^\circ[/tex]

[S.B.]

Получих [tex]S_{MCK }[/tex] =[tex]\frac{9a^{2 }tg \gamma }{32}[/tex]
Греша ли ?

Не,не грешиш,Евва!Отговорът е [tex]S_{MCK } = \frac{9}{32} a^{2 } \tg \gamma[/tex]
Публикувай твоето решение.

[Евва]

Да означим MC=x ,MD=y ,[tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex]
([tex]\triangle[/tex]MBC-cos T) [tex]x^{2 }[/tex]= [tex]a^{2 }[/tex]+[tex]\frac{ a^{2 } }{4}[/tex] -2a.[tex]\frac{a}{2}[/tex]cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])

[tex]x^{2 }[/tex] =[tex]a^{2 }[/tex]([tex]\frac{5}{4}[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex]) (1)
([tex]\triangle[/tex]AMD-cos T) [tex]y^{2 }[/tex]= [tex]a^{2 }[/tex]+[tex]\frac{ a^{2 } }{4}[/tex] -2a.[tex]\frac{a}{2}[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]

[tex]y^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 }[/tex]([tex]\frac{5}{4}[/tex]-cos[tex]\alpha[/tex]) (2)

([tex]\triangle[/tex]MCD-cos T) [tex]a^{2 }=x^{2}+y^{2}[/tex] -2xy.cos[tex]\gamma[/tex]

[tex]a^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 }[/tex]([tex]\frac{5}{4}[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex]) +[tex]a^{2 }[/tex]([tex]\frac{5}{4}[/tex]-cos[tex]\alpha[/tex]) -2.[tex]\frac{a}{2}[/tex][tex]\sqrt{5+4cos \alpha }[/tex] .[tex]\frac{a}{2}[/tex][tex]\sqrt{5-4cos \alpha }[/tex] .cos[tex]\gamma[/tex]

[tex]\frac{ a^{2 } \sqrt{25-16 cos^{2 } \alpha } }{2}[/tex] .cos[tex]\gamma[/tex] =[tex]a^{2 }[/tex]( -1+[tex]\frac{5}{4}[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{5}{4}[/tex]-cos[tex]\alpha[/tex])

[tex]cos^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex] =[tex]\frac{25 cos^{2 } \gamma -9 }{16 cos^{2 } \gamma }[/tex] (3)

Лесно намираме [tex]sin^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex] =[tex]\frac{9-9 cos^{2 } \gamma }{16 cos^{2 } \gamma }[/tex]

sin[tex]\alpha[/tex] =[tex]\frac{3tg \gamma }{4}[/tex] (4)

[tex]S_{MCK }[/tex]=[tex]S_{ABCD } -S_{AMK } -S_{MBC} -S_{KCD}[/tex]

[tex]S_{MCK }[/tex] =a.a.sin[tex]\alpha[/tex] -[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{a}{2}. \frac{a}{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] -[tex]\frac{1}{2}[/tex]a.[tex]\frac{a}{2}[/tex]sin(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]) -[tex]\frac{1}{2}[/tex]a.[tex]\frac{a}{2}[/tex]sin(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]) =

= [tex]\frac{3 a^{2 } sin \alpha }{8}[/tex] = [tex]\frac{3 a^{2 } }{8} .\frac{3tg \gamma }{4}[/tex]

[tex]S_{MCK }[/tex] =[tex]\frac{9 a^{2 } }{32}[/tex]tg[tex]\gamma[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2023-03-10T113125.395.png (290.7 KiB) Прегледано 1623 пъти

Ето и моето решение

Нека [tex]\angle DAB = \alpha \Rightarrow \angle MBC = 180 ^\circ - \alpha ,DM = x , CM = y[/tex]

[tex]S_{ABCD } = S_{AMD } + S_{DMC } + S_{MCB } \Leftrightarrow a^{2 }\sin \alpha = \frac{ a^{2 } }{4}\sin \alpha + \frac{x.y}{2}\sin \gamma + \frac{ a^{2 } }{4} \sin(180 ^\circ - \alpha)[/tex]
[tex]a^{2 }\sin \alpha = \frac{ a^{2 } }{2} \sin \alpha + \frac{xy}{2}\sin \gamma \Leftrightarrow a^{2 }\sin \alpha = xy\sin \gamma[/tex]
$$\Rightarrow xy = a^{2 } \frac{\sin \alpha }{\sin \gamma } $$
За [tex]\triangle AMD[/tex] и [tex]\triangle MBC[/tex] прилагам последователно Косинусова теорема:
[tex]x^{2 } = a^{2 } + \frac{ a^{2 } }{4} - 2.a. \frac{a}{2}\cos \alpha[/tex]
[tex]y^{2 } = a^{2 }+ \frac{ a^{2 } }{4} + 2.a. \frac{a}{2}\cos \alpha[/tex]
Събирам ги почленно и получавам:
[tex]x^{2 } + y^{2 } = 2 a^{2 } + 2 \frac{ a^{2 } }{4} \Rightarrow x^{2 } + y^{2 } = \frac{5}{2} a^{2 }[/tex]
За [tex]\triangle DMC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]a^{2 } = x^{2 } + y^{2 } -2xy\cos \gamma \Leftrightarrow a^{2 } = \frac{5}{2} a^{2 } - 2xy\cos \gamma \Leftrightarrow \frac{3}{2} a^{2 } = 2xy\cos \gamma[/tex]
$$\Rightarrow xy = \frac{3 a^{2 } }{4\cos \gamma } $$
[tex]\begin{cases} xy = a^{2 }\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin \gamma } \\ xy = \displaystyle \frac{3 a^{2 } }{4\cos \gamma } \end{cases} \Leftrightarrow a^{2 } \displaystyle\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }= \displaystyle\frac{3 a^{2 } }{4\cos \gamma }[/tex]
$$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{3}{4}\tg \gamma $$
[tex]S_{MCK } = S_{ABCD } - ( S_{AMK } + 2 S_{MBC }) \Leftrightarrow S_{MCK } = a^{2 }\sin \alpha -( \frac{ a^{2 } }{8}\sin \alpha + \frac{ a^{2 } }{2} \sin \alpha )[/tex]
[tex]\Leftrightarrow S_{MCK } = a^{2 }\sin \alpha - \frac{ a^{2 } }{8}\sin \alpha - \frac{ a^{2 } }{2}\sin \alpha[/tex]
$$\Rightarrow S_{MCK } = \frac{3}{8} a^{2 }\sin \alpha $$
[tex]\begin{cases} S_{MCK } = \displaystyle\frac{3}{8} a^{2 }\sin \alpha \\ \sin \alpha =\displaystyle \frac{3}{4}\tg \gamma \end{cases}[/tex]
$$\Rightarrow S_{MCK } = \frac{9}{32} a^{2 } \tg \gamma $$

[nikola.topalov]

Включвам се и аз с аналитична геометрия. Нека точка [tex]O[/tex] е пресечната точка на диагоналите на ромба. Разглеждаме точка [tex]O[/tex] като начало на декартовата координатна система, а правите [tex]OB[/tex] и [tex]OC[/tex] съответно като абсцисната ос и ординатната ос на системата:

2023-03-11 (12).png (20.38 KiB) Прегледано 1587 пъти

Да си въведем координати за точките. Нека [tex]B(x,0)[/tex] и [tex]C(0,y)[/tex], откъдето очевидно [tex]D(-x,0)[/tex] и [tex]A(0,-y)[/tex]. Точката [tex]M[/tex] по условие е среда на [tex]AB[/tex] и значи [tex]M\left(\dfrac{x}{2},-\dfrac{y}{2}\right)[/tex]. По-нататък, правите [tex]DM[/tex] и [tex]CM[/tex] имат ъглови коефициенти съответно [tex]k_1=-\dfrac{y}{3x}[/tex] и [tex]k_2=-\dfrac{3y}{x}[/tex]. Оттук по формулата за тангенс на острия ъгъл между две прави получаваме $$\tg\gamma=\left|\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|=\left|\dfrac{8xy}{3(x^2+y^2)}\right|$$ Ясно е, че модулните скоби могат да се пренебрегнат в случая, понеже [tex]xy>0[/tex] и [tex]x^2+y^2=a^2>0[/tex]. И така [tex]xy=\dfrac{3}{8}a^2\tg\gamma[/tex]. От друга страна лесно се пресмята, че [tex]S_{KMC}=\dfrac{3}{4}xy[/tex], откъдето окончателно [tex]S_{KMC}=\dfrac{9}{32}a^2\tg\gamma[/tex].