Триъгълна пирамида

[S.B.]

За основа на пирамида служи правоъгълен триъгълник с катети $21$ и $28$ см.Околните стени минаващи през тях сключват с равнината на основата ъгли равни на [tex]60 ^\circ[/tex], а околните ръбове през краищата на хипотенузата са равни.Да се определи обема на пирамидата.

[nikola.topalov]

Интересна задача (за която ще пусна чертеж утре). Нека [tex]ABCM[/tex] е дадената пирамида и нека [tex]\triangle ABC[/tex] ([tex]\measuredangle ABC = 90^\circ[/tex]) служи за основата ѝ. Мисля да генерализирам задачата, като катетите на основата означа с [tex]AB=a[/tex] и [tex]CB=b[/tex], а ъглите, които околните стени [tex]ABM[/tex] и [tex]BCM[/tex] сключват с основата [tex]-[/tex] с [tex]\varphi[/tex]. Ще разгледаме случая, когато [tex]a\neq b[/tex], понеже в противен случай дадената задача се обезмисля. Да допуснем, че ортогоналната проекция [tex]O[/tex] на върха [tex]M[/tex] на тетраедъра върху основата му е вътрешна точка за [tex]\triangle ABC[/tex]. По условие [tex]AM=CM[/tex], т.е. [tex]O[/tex] следва да лежи на симетралата на хипотенузата [tex]AC[/tex]. По-нататък, разстоянията от [tex]O[/tex] до катетите са равни, което е директно следствие от равните двустенни ъгли. Излезе, че за [tex]\triangle ABC[/tex] съществува вътрешна за него точка, лежаща на симетралата на хипотенузата му и намираща се на равни разстояния от катетите. Оттук лесно се съобразява, че [tex]a=b[/tex] (от еднаквост на триъгълници). Противоречие. Значи [tex]O[/tex] е външна за основата. И по-точно [tex]-[/tex] [tex]O[/tex] е такава точка от симетралата на [tex]AB[/tex], че около [tex]AOBC[/tex] може да се опише окръжност. По този начин се обособява правоъгълният равнобедрен [tex]\triangle AOC[/tex]. Разстоянията от точка [tex]O[/tex] до катетите пресмятаме, че са равни на [tex]\dfrac{1}{2}(a+b)[/tex]. Нека [tex]OH\perp AC[/tex] ([tex]H\in AC[/tex]). Имаме, че [tex]\measuredangle MHO=\varphi[/tex], а оттук и [tex]OM=\dfrac{1}{2}(a+b)\tg\varphi[/tex]. И така за обема на тетраедъра окончателно получаваме $$V(a,b,\varphi)=\dfrac{1}{12}ab(a+b)\tg\varphi \ \ (\Rightarrow V(21,28,60^\circ)=2041\sqrt{3})$$

[S.B.]

И така за обема на тетраедъра окончателно получаваме $$V(a,b,\varphi)=\dfrac{1}{12}ab(a+b)\tg\varphi \ \ (\Rightarrow V(21,28,60^\circ)=2041\sqrt{3})$$

Отговорът е:[tex]V = 2058 \sqrt{2}[/tex]

[nikola.topalov]

Това [tex]\sqrt{2}[/tex] не го виждам откъде идва. Ще опиша по-подробно решението си, този път с чертеж:

2023-03-15 (9).png (25.08 KiB) Прегледано 1452 пъти

Показах, че [tex]M[/tex] се проектира ортогонално в точка [tex]O[/tex] от ъглополовящата на [tex]\measuredangle ABC[/tex], такава че около [tex]ABCO[/tex] може да се опише окръжност. Нека [tex]AB=a<BC=b[/tex]. Тогава петата [tex]H[/tex] на перпендикуляра от точка [tex]O[/tex] към [tex]BC[/tex] е вътрешна точка за [tex]BC[/tex]. Нека [tex]\measuredangle ACB=\gamma\Rightarrow\measuredangle OCH=45^\circ+\gamma[/tex]. Пресмятаме, че [tex]OA=OC=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}[/tex]. По-нататък, $$\sin\measuredangle OCH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin\gamma+\cos\gamma)=\dfrac{\sqrt{2}(a+b)}{2\sqrt{a^2+b^2}}$$ Оттук [tex]OH=\sin\gamma \cdot OC=\dfrac{a+b}{2}[/tex]. В [tex]\triangle OHM[/tex] [tex]\measuredangle = \varphi[/tex] и следователно [tex]OM=\dfrac{1}{2}(a+b)\tg\varphi[/tex]. Обемът на тетраедъра го изкарвам отново $$V=\dfrac{1}{2}(a+b)\tg\varphi\cdot\dfrac{ab}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}ab(a+b)\tg\varphi$$ За [tex]a=21[/tex], [tex]b=28[/tex] и [tex]\varphi=60^\circ[/tex] получавам [tex]V=2041\sqrt{3}[/tex]. Наистина не виждам къде съм сбъркал.

[S.B.]

Това [tex]\sqrt{2}[/tex] не го виждам откъде идва...

Да,прав си!И аз не виждам от къде идва.Това ме навежда на мисълта,че отговорът [tex]V = 2058 \sqrt{2}[/tex] е бил предназначен за някоя друга задача.
Ти обаче имаш грешка:
[tex]V = \frac{1}{12}ab(a+b).\tg \varphi = \frac{1}{12},21.28.(21 + 28) \sqrt{3} = \frac{1}{12} .588.49. \sqrt{3} = \frac{28812}{12}. \sqrt{3} = 2401 \sqrt{3} \ne 2041 \sqrt{3}[/tex]
Вярвам,че ще се съгласиш!
Предполагам ,че е по невнимание...
Утре ще представя и моето решение, което е различно,но получавам същия отговор.

[S.B.]

За основа на пирамида служи правоъгълен триъгълник с катети $21$ и $28$ см.Околните стени минаващи през тях сключват с равнината на основата ъгли равни на [tex]60 ^\circ[/tex], а околните ръбове през краищата на хипотенузата са равни.Да се определи обема на пирамидата.

Без заглавие - 2023-03-17T144058.051.png (439.44 KiB) Прегледано 1372 пъти

Нека пирамидата е $ABCM$ с основа правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] с катети $AC = 21$ и $BC = 28$
От условията ,че околните стени,които минават през катетите на [tex]\triangle ABC[/tex] сключват с равнината на основата ъгли равни на [tex]60 ^\circ[/tex] , а околните ръбове минаващи през краищата на хипотенузата $AB$ са равни ,следва,че върхът $M$ се проектира върху точка $H$ ,която е пресечната точка на ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] и симетралата на хипотенузата $AB$.Те се пресичат върху описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.
[tex]l_{C } \cap S_{AB } = H[/tex]
[tex]M K_{1 }[/tex] е апотема на стената $(ACM)$ , [tex]М K_{2 }[/tex] е апотема на стената $(BCM)$
[tex]H K_{1 }[/tex] и [tex]H K_{2 }[/tex] са съответните им ортогонални проекции в равнината на основата.
[tex]\angle М К_{1 }H = \angle M K_{2 }H = 60 ^\circ[/tex]
[tex]H \in S_{AB } \Rightarrow AH = BH[/tex]
[tex]H \in l_{C } \Rightarrow H K_{1 } = HK_{2 }[/tex]
[tex]H K_{1 } \bot AC , H K_{2 } \bot BC[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle H K_{1 }A \cong \triangle H K_{2 }B[/tex](правоъгълни,по катет и хипотенуза)
[tex]\Rightarrow A K_{1 } = BK_{2 } = x[/tex]

[tex]\triangle C K_{1 }H \cong \triangle CH K_{2 }[/tex] (втори признак - равнобедрени ,правоъгълни с обща хипотенуза)
[tex]\Rightarrow C K_{1 } = C K_{2 } \Leftrightarrow 21 + x = 28 - x \Leftrightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}[/tex]
[tex]H K_{1 } = 21 + x = 21 + \frac{7}{2} \Rightarrow H K_{1 } = \frac{49}{2}[/tex]
От [tex]\triangle M K_{1 }H \rightarrow \frac{MH}{H K_{1 } } = \tg 60 ^\circ \Leftrightarrow MH = \frac{49}{2} \sqrt{3}[/tex]

[tex]V = \frac{1}{3}.MH. S_{ABC } \Leftrightarrow V = \frac{1}{3}. \frac{49}{2} \sqrt{3} \frac{21.28}{2} \Leftrightarrow V = \frac{28812}{12} \sqrt{3}[/tex]
$$\Rightarrow V = 2401 \sqrt{3} $$

Скрит текст: покажи

Т.[tex]K_{1 }[/tex] е външна за страната $AC$ защото в противен случай отсечката [tex]A K_{1 }[/tex] ще бъде вътрешна за страната $AC$ и тогава [tex]CK_{1 } = 21 - x[/tex] и от [tex]C K_{1 }= C K_{2 } \Rightarrow 21 - x = 28 - x[/tex], което е невъзможно