Полином

[grav]

Ако [tex]a,b,c,d[/tex] са реалини числа, не всичките нула, да се докаже че полиномът [tex]p(x)=x^6+ax^3+bx^2+cx+d[/tex] не може да има само реални корени.

[pal702004]

По формулите на Виет означава, че не съществуват 6 (не всички равни на нула) реални числа $x_1,\ldots x_6$ такива, че:
[tex]\begin{array}{|l} x_1+x_2+\ldots x_6=0 \\ \\ \sum_{i \ne j} x_ix_j=0 \end{array}[/tex]

Да предположим, че $x_6 \ne 0$ и да разделим първото уравнение на $x_6$, второто на $x_6^2$ и да преминем към нови променливи $a=x_1/x_6,b=x_2/x_6, \ldots$
Получаваме

[tex]\begin{array}{|l} a+b+c+d+e=-1 \\ ab+ac+ad+ae+a+bc+bd+be+b+cd+ce+c+de+d+e=0 \end{array}[/tex]

Или второто е $ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de=1$

Тогава $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=(-1)^2-2\cdot 1=-1$

Няма такива реални числа.

Да, новите променливи $a,b,c,d$ да не се бъркат с коефициентите на полинома. Коефициентите не се използват в доказателството.

[peyo]

Ще предложа едно малко смешно решение използвайки груба сила със Sympy.

С други думи трябва да докажем, че полином на 6-та степен, който няма коефиценти на 5-та и 4-та степени, има комплексни корени.

Да видим един пълен полином на 6-та степен, който има всичките си части. От тук нататък, a,b,c... ще са корени на полинома, а не коефиценти.

Код: Избери целия код

In [70]:
    ...: var("a,b,c,d,e,f,x")
    ...: p = (x-a)*(x-b)*(x-c)*(x-d)*(x-e)*(x-f)
    ...: P = poly(p,x)
    ...: print(latex(P))

$\operatorname{Poly}{\left( x^{6} + \left(- a - b - c - d - e - f\right) x^{5} + \left(a b + a c + a d + a e + a f + b c + b d + b e + b f + c d + c e + c f + d e + d f + e f\right) x^{4} + \left(- a b c - a b d - a b e - a b f - a c d - a c e - a c f - a d e - a d f - a e f - b c d - b c e - b c f - b d e - b d f - b e f - c d e - c d f - c e f - d e f\right) x^{3} + \left(a b c d + a b c e + a b c f + a b d e + a b d f + a b e f + a c d e + a c d f + a c e f + a d e f + b c d e + b c d f + b c e f + b d e f + c d e f\right) x^{2} + \left(- a b c d e - a b c d f - a b c e f - a b d e f - a c d e f - b c d e f\right) x + a b c d e f, x, domain=\mathbb{Z}\left[a, b, c, d, e, f\right] \right)}$

И сега искаме коефицентите пред 5-та и 4-та степен да са 0:

Код: Избери целия код

In [73]: S = solve([P.all_coeffs()[1], P.all_coeffs()[2]])
    ...: for s in S:
    ...:     print(latex(s))

$\left\{ a : - \frac{c}{2} - \frac{d}{2} - \frac{e}{2} - \frac{f}{2} - \frac{\sqrt{- 3 c^{2} - 2 c d - 2 c e - 2 c f - 3 d^{2} - 2 d e - 2 d f - 3 e^{2} - 2 e f - 3 f^{2}}}{2}, \ b : - \frac{c}{2} - \frac{d}{2} - \frac{e}{2} - \frac{f}{2} + \frac{\sqrt{- 3 c^{2} - 2 c d - 2 c e - 2 c f - 3 d^{2} - 2 d e - 2 d f - 3 e^{2} - 2 e f - 3 f^{2}}}{2}\right\}$
$\left\{ a : - \frac{c}{2} - \frac{d}{2} - \frac{e}{2} - \frac{f}{2} + \frac{\sqrt{- 3 c^{2} - 2 c d - 2 c e - 2 c f - 3 d^{2} - 2 d e - 2 d f - 3 e^{2} - 2 e f - 3 f^{2}}}{2}, \ b : - \frac{c}{2} - \frac{d}{2} - \frac{e}{2} - \frac{f}{2} - \frac{\sqrt{- 3 c^{2} - 2 c d - 2 c e - 2 c f - 3 d^{2} - 2 d e - 2 d f - 3 e^{2} - 2 e f - 3 f^{2}}}{2}\right\}$

Забелязваме, че всички корени имат същото подкоренен израз, който много ни прилича да бъда по-малък от 0. Тогава ако това е вярно задачата е решена, защото това ще генерира комплексно число.

Това не знам как точнно може да се докаже, може би с някакви фокуси с преобразуване където в крайна сметка ще получим нещо отрицателно от нещо на квадрат, но това ми прилича на много работа, а тук ние имаме решение със груба сила. Просто ще решим подкоренниа израз за $c$:

In [77]: print(latex(solve(-3*c**2 - 2*c*d - 2*c*e - 2*c*f - 3*d**2 - 2*d*e - 2*d*f - 3*e**2 - 2*e*f - 3*f**2, c)))
$\left[ - \frac{d}{3} - \frac{e}{3} - \frac{f}{3} - \frac{2 \sqrt{- 2 d^{2} - d e - d f - 2 e^{2} - e f - 2 f^{2}}}{3}, \ - \frac{d}{3} - \frac{e}{3} - \frac{f}{3} + \frac{2 \sqrt{- 2 d^{2} - d e - d f - 2 e^{2} - e f - 2 f^{2}}}{3}\right]$

Получихме нов подкоренен израз, който също много подозрително е по-малук от нула. Да го решим за $d$:

Код: Избери целия код

In [78]: solve(-2*d**2 - d*e - d*f - 2*e**2 - e*f - 2*f**2, d)

Out[78]:
[-e/4 - f/4 - sqrt(-15*e**2 - 6*e*f - 15*f**2)/4,
-e/4 - f/4 + sqrt(-15*e**2 - 6*e*f - 15*f**2)/4]

Оше един подкоренен израз, да го решим за $е$:

In [80]: print(latex(solve(-15*e**2 - 6*e*f - 15*f**2, e)))
$\left[ \frac{f \left(-1 + 2 \sqrt{6} i\right)}{5}, \ - \frac{f \left(1 + 2 \sqrt{6} i\right)}{5}\right]$

И сега корена $е$ е корена $f$ умножен на комплексно число. Ако $f$ e комплексно число, задачата е решена. Ако $f$ e реално число, то $e$ e комплексно число и задачата е решена.

Предполагам трябва малко по-подробно да обясня защо решавайки подкоренниа израз води до решение, и това не е особено очевидно...

[pal702004]

Забелязваме, че всички корени имат същото подкоренен израз, който много ни прилича да бъда по-малък от 0

Разбира се. Той е равен на

$-2(c^2+d^2+e^2+f^2)-(c+d+e+f)^2$

[peyo]

Забелязваме, че всички корени имат същото подкоренен израз, който много ни прилича да бъда по-малък от 0

Разбира се. Той е равен на

$-2(c^2+d^2+e^2+f^2)-(c+d+e+f)^2$

Aха, това значи бил фокуса, който подозирах, че съществува!

[pal702004]

Всъщност няма нужда от допълнителни упражнения като делене на $x_6$. От двете уравнения на системата имаме

$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_6^2=(x_1+x_2+\ldots + x_6)^2-2\left(\sum_{i \ne j} x_ix_j\right)=0$

Откъдето $x_1=x_2=\ldots=x_6=0$

[grav]

Всъщност няма нужда от допълнителни упражнения като делене на $x_6$. От двете уравнения на системата имаме

$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_6^2=(x_1+x_2+\ldots + x_6)^2-2\left(\sum_{i \ne j} x_ix_j\right)=0$

Откъдето $x_1=x_2=\ldots=x_6=0$

Това беше авторовото решение.