Правоъгълен триъгълник

[nikola.topalov]

Даден е правоъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] ([tex]\measuredangle ACB=90^\circ[/tex]), в който [tex]\measuredangle CAB=30^\circ[/tex]. Точка [tex]M[/tex] е такава, че разстоянията от нея до върховете [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex] на триъгълника са съответно [tex]8[/tex], [tex]2[/tex] и [tex]\sqrt{7}[/tex]. Да се намери лицето на триъгълника.

[pal702004]

нека коррдинатите са $C(0,0);B(0,a);A(\sqrt 3 a,0);M(x,y)$. И нека $a>0$. Получаваме системата

[tex]\begin{array}{|l} (x-\sqrt 3 a)^2+y^2=64 \\ x^2+(y-a)^2=4 \\ x^2+y^2=7 \end{array}[/tex]

Интересува ни $S=\frac{\sqrt 3}{2} a^2$

Решавайки системата (получава се биквадратно относително $a$ - точно което ни интересува - $a^2$) имаме два отговора:

$a^2=13$ и $a^2=21$

В първия случай $x=-\dfrac{3\sqrt{39}}{13},\;y=\dfrac{8\sqrt{13}}{13}$

във втория $x=\dfrac{\sqrt 7}{7},\;y=\dfrac{4\sqrt{21}}{7}$

[Gruicho]

Координатите на точката ли се търсят или лицето?

[stefanb]

Редно е да се уточни, че точка М е в равнината на ABC. Ако не е няма да е определено, но все пак.

IMG20230327195234.jpg (129.48 KiB) Прегледано 1300 пъти

[peyo]

Две приблизителни решения с geogebra:

geogebra-export(39).png (1.19 MiB) Прегледано 1285 пъти

И

geogebra-export(38).png (1.06 MiB) Прегледано 1285 пъти