Медиана и ъглополовяща

[nikola.topalov]

В [tex]\triangle ABC[/tex] ъглополовящата [tex]AL[/tex] пресича медианата [tex]CM[/tex] в точката [tex]K[/tex]. Да се намери [tex]\measuredangle ACB+\measuredangle AKB[/tex], при условие че [tex]\measuredangle ABK=\measuredangle MCB[/tex].

[math10.com]

zs1.png (116.31 KiB) Прегледано 1304 пъти

Нека [tex]k[/tex] е описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.
[tex]CM \cap k=D \Rightarrow \angle DAB= \angle DCB[/tex] , но [tex]\angle DCB= \angle ABK[/tex] по условие [tex]\Rightarrow \angle DAB= \angle ABK[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle AMD \cong \triangle BMK[/tex] по 2-ри пизнак [tex]\Rightarrow AD=BK[/tex] , като СЕЕТ
[tex]\Rightarrow \triangle ABD \cong \triangle ABK[/tex] по 1-ви пизнак [tex]\Rightarrow \angle ADB= \angle AKB[/tex] , като СЕЕТ
[tex]\Rightarrow \angle AKB + \angle ACB =180 ^\circ[/tex]



П.П. Както се забелязва условието [tex]АК -[/tex] ъглополовяща е излишно т.е. е зададено, за да отклонява вниманието , което по мое мнение е нежелателно.Може би, за задачата с това условие е по-удачно да се търси да речем:Докажете , че [tex]\triangle AKC[/tex] е равнобедрен.

[S.B.]

Прикачения файл zs1.png вече е недостъпен

П.П. Както се забелязва условието [tex]АК -[/tex] ъглополовяща е излишно т.е. е зададено, за да отклонява вниманието , което по мое мнение е нежелателно.Може би, за задачата с това условие е по-удачно да се търси да речем:Докажете , че [tex]\triangle AKC[/tex] е равнобедрен.

Съгласна съм с Вас,че условието е друго!Моята версия е следната:

В [tex]\triangle ABC ,CM[/tex] е медиана.Върху $CM$ е избрана точка $K$,такава,че [tex]\angle MCB = \angle ABK[/tex].Да се намери сборът [tex]\angle AKB + \angle ACB[/tex]

Без заглавие - 2023-04-01T135335.992.png (291.5 KiB) Прегледано 1288 пъти

$CM$ пресича описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] в т.$P$
[tex]\angle PAB = \angle PCB =\displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{PB}}{2}[/tex]
[tex]\angle PAB = \angle ABK[/tex] (по условие)
[tex]\angle PAB[/tex] и [tex]\angle ABK[/tex] са кръстни при пресичането на правите $KB$ и $AP$ с правата $AB$
$$\Rightarrow KB || AP$$
[tex]\triangle APM \cong MBK[/tex] по втори признак
$$\Rightarrow KB = AP$$
[tex]\begin{cases} KB = AP \\ KB || AP \end{cases} \Rightarrow APBK[/tex] е успоредник
$$\Rightarrow \angle AKB = \angle APB$$
$ APBC$ е вписан в окръжност [tex]\angle ACB + \angle APB = 180 ^\circ[/tex]
[tex]\angle APB = \angle AKB[/tex]
$$\Rightarrow \angle ACB + \angle AKB = 180 ^\circ $$
Ако колегата nikola .topalov не е съгласен ,нека да докаже,че $AK$ е ЪГЛОПОЛОВЯЩА

[nikola.topalov]

Поздравления за решенията, вероятно щеше да е по-добре наистина да се докаже, че [tex]\triangle AKC[/tex] е равнобедрен при така зададена ъглополовяща. Извинявам се за неточността.