Конкурс ВИАС -2010 - зад.2

[S.B.]

Върху страната $BC$ на ромба $ABCD$ е избрана т.$M$ такава,че [tex]\frac{CM}{MB} = k[/tex]
[tex]AM \cap BD = N[/tex]
[tex]\angle AMB = 2. \angle BAM[/tex]
а) Пресметнете [tex]\cos \angle BAD[/tex];
б) Докажете ,че [tex]\frac{ S_{ \triangle BMN} }{ S_{ \triangle BAM} } = \frac{1}{k + 2}[/tex]

[math10.com]

VIAS.png (32.02 KiB) Прегледано 1348 пъти

Нека [tex]AB=BC=CD=DA=a[/tex] и [tex]\angle BAM= \alpha \Rightarrow BMA=2 \alpha[/tex]
[tex]\frac{CM}{MB}=k \Rightarrow \frac{CM+MB}{MB}=k+1[/tex]
[tex]\triangle AND \approx \triangle MNB[/tex] по 1-ви признак [tex]\Rightarrow \frac{AD}{MB}= \frac{AN}{MN} =k+1[/tex] е коефициента на подобие

а) За [tex]\triangle ABM[/tex] прилагаме Синусова теорема
[tex]\Rightarrow \frac{AB}{sin 2 \alpha }= \frac{MB}{sin \alpha } \Rightarrow k+1= \frac{AB}{MB}= \frac{sin 2 \alpha }{sin \alpha }= \frac{2sin \alpha.cos \alpha }{sin \alpha }=2cos \alpha \Rightarrow cos \alpha = \frac{k+1}{2}[/tex]

[tex]\angle BAD= \angle BAM+ \angle MAD=\angle BAM+ \angle AMB=3 \alpha[/tex] ,като кръстни

[tex]\Rightarrow cos 3 \alpha =4cos^3 \alpha-3cos \alpha =\frac{4(k+1)^3}{8}-\frac{3(k+1)}{2}=\frac{k^3+3k^2-2}{2}[/tex]

б)[tex]\frac{S_{ \triangle BMN}}{S_{ \triangle BAM}}= \frac{MN}{AM}= \frac{MN}{AN+MN}=\frac{MN}{(k+1)MN+MN}= \frac{1}{k+2}[/tex]

[S.B.]

Благодаря Ви, колега math10.com за вниманието!

Искам да споделя по какво се различава моето решение от Вашето:
При а) няма различия - т.е.мислим еднакво!

Доказателство на б)

[tex]\frac{ S_{ \triangle BNM } }{ S_{ \triangle ABM } } = \frac{NM}{AM}[/tex] (Защото са триъгълници с равни височини и различни основи)

[tex]BN \in DB[/tex], а диагоналът $DB$ е и ъглополовяща [tex]\Rightarrow BN[/tex] е ъглополовяща в [tex]\triangle ABM[/tex]

Прилагам свойството на ъглополовящата :

[tex]\frac{NM}{AN} = \frac{BM}{AB} \Leftrightarrow \frac{NM}{AN} = \frac{BM}{BM(k+1)} \Rightarrow \frac{NM}{AN} = \frac{1}{k + 1}[/tex]
$$\Rightarrow NM = AN. \frac{1}{k + 1} $$
[tex]AM = AN + NM \Leftrightarrow AM = AN + AN. \frac{1}{k + 1}[/tex]
$$ \Rightarrow AM = AN.\frac{k + 2}{k + 1} $$
[tex]\displaystyle\frac{ S_{ \triangle NBM } }{ S_{ \triangle ABM } } = \displaystyle\frac{NM}{AB} = \displaystyle\frac{AN. \displaystyle\frac{1}{k + 1} }{AN. \displaystyle\frac{k + 2}{k + 1} } =\displaystyle \frac{1}{k + 2}[/tex]