Приложение на ,,алгебричния метод"

[Румен Симеонов]

Има една доста известна задача, за която имам лош спомен, че на времето я реших самостоятелно, но доста ме затрудни, а също и решението, което прочетох после не беше много лесно. Та, реших да запитам тук големите майстори, дали вече е открито някое по-лесничко решение. Става дума за задачата да се докаже, че ако в триъгълник две ъглополовящи са равни то и съотвентите им страни са равни. Впрочем, искам да попитам и какво значи лесно решение. Може ли да се счита за ,,лесно" едно решение основано на ,,алгебричния метод" свеждайки въпроса до работа с числа, например. Лесно ли е следното решение, което много лесно ,,открих" току-що, а може би методът има приложение и в други подобни задачи по геометрия:
,,Решение":
Задачата е да се докаже равенството [tex]a = b[/tex], като се знае, че е налице равенството [tex]l_{a} = l_{b}[/tex], където [tex]l_{a}[/tex] и [tex]l_{b}[/tex], са ъглополовящите към страните [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] на един триъгълник със (дължини на) страните числата [tex]a, b, c[/tex]. Известно е, че тройка числа [tex]a, b, c[/tex] са страни на триъгълник [tex]\Leftrightarrow[/tex] и трите са положителни и поне две двойки от тях и-или даже всеки две от тях имат сума по-голяма от третата, която не влиза в двойката, т.е., например [tex]\Leftrightarrow c < a + b[/tex] и [tex]а < b + c[/tex]. Известно е също, че съществуват формули [tex]l_{a}=l_{a}(a,b,c)[/tex] и [tex]l_{b}=l_{b}(a,b,c)[/tex] изразяващи [tex]l_{a}[/tex] и [tex]l_{b}[/tex] чрез числата [tex]a, b, c[/tex]. Даденото равенство [tex]l_{a} = l_{b}[/tex], т.е. [tex]l_{a}(a,b,c) = l_{b}(a,b,c)[/tex] заделя от всички тройки [tex](a, b, c)[/tex] изобразяващи точка в тримерното пространство с координати - страни на триъгълник множество ,,място на точки" което е с 1 измерение по-малко от 3 - т.е. - което е двумерна повърхнина M. Aналогично, равенството [tex]a = b[/tex] също заделя двумерна повърхнина: N - част от множеството на точките в тримерното пространство, чиито 3 координати са страни на един триъгълник. Очевидно е, че повърхнината N е подмножество на повърхнината M. Няма как, обаче, N да е съществено подможество на M, защото и двете се задават с условия представляващи равенства на аналитични изрази на числата [tex]a, b, c[/tex]. Тук има някои подробности, които трябва всеки да си ги запълни сам. Следва, че [tex]N = M[/tex], т.е. - че и M е част от N. Последното включване (,,е част от"), обаче, представлява казано с други думи, това, което трябва да се докаже, за да бъде решена задачата. Това заключение завършва настоящото ,,Решение".

[math10.com]

Това е теорема на Щайнер-Лемус.
Във стария форум имаше разискване за този проблем и гл.ас. Иван Делев (r2d2) беше писал доста хубави неща по темата.
Аналитични доказателства на теоремата има няколко.Интересно ми е да видя чисто геометрично доказателство.

Иначе ето едно много лесно аналитично доказателство от мен.
Стандартни означения за страните на триъгълника [tex]a,b,c[/tex] и ъглополовящите му [tex]l_a,l_b[/tex]

[tex]l_a^2=bc- \frac{a^2bc}{(b+c)^2}[/tex] и [tex]l_b^2=ac- \frac{ab^2c}{(a+c)^2}[/tex]

От [tex]l_a=l_b \Rightarrow bc- \frac{a^2bc}{(b+c)^2}=ac- \frac{ab^2c}{(a+c)^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow bc- \frac{a^2bc}{(b+c)^2}-ac+ \frac{ab^2c}{(a+c)^2}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow c(b-a)+abc(\frac{b}{(a+c)^2}-\frac{a}{(b+c)^2})=0[/tex]

[tex]\Rightarrow c(b-a)+abc.\frac{b(b+c)^2-a(a+c)^2}{(a+c)^2(b+c)^2}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow c(b-a)+abc.\frac{b^3+2b^2c+bc^2-a^3-2a^2c-ac^2}{(a+c)^2(b+c)^2}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow c(b-a)+abc.\frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)+2c(b-a)(b+a)+c^2(b-a)}{(a+c)^2(b+c)^2}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow (b-a)[ c+ \frac{abc(a^2+b^2+c^2+ab+2ac+2bc)}{(a+c)^2(b+c)^2} ]=0[/tex]

И тъй като в дясната скоба всички елементи са положителни то остава [tex]a=b[/tex], което доказва теоремата.

Далеч по-любопитно е да се докаже чисто геометрично ( с еднакви триъгълници и допълнителни построения)

[Румен Симеонов]

Това е теорема на Щайнер-Лемус.
Във стария форум имаше разискване за този проблем и гл.ас. Иван Делев (r2d2) беше писал доста хубави неща по темата.
Аналитични доказателства на теоремата има няколко.Интересно ми е да видя чисто геометрично доказателство.

Иначе ето едно много лесно аналитично доказателство от мен.
Стандартни означения за страните на триъгълника [tex]a,b,c[/tex] и ъглополовящите му [tex]l_a,l_b[/tex]

[tex]l_a^2=bc- \frac{a^2bc}{(b+c)^2}[/tex] и [tex]l_b^2=ac- \frac{ab^2c}{(a+c)^2}[/tex]

От [tex]l_a=l_b \Rightarrow bc- \frac{a^2bc}{(b+c)^2}=ac- \frac{ab^2c}{(a+c)^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow bc- \frac{a^2bc}{(b+c)^2}-ac+ \frac{ab^2c}{(a+c)^2}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow c(b-a)+abc(\frac{b}{(a+c)^2}-\frac{a}{(b+c)^2})=0[/tex]

[tex]\Rightarrow c(b-a)+abc.\frac{b(b+c)^2-a(a+c)^2}{(a+c)^2(b+c)^2}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow c(b-a)+abc.\frac{b^3+2b^2c+bc^2-a^3-2a^2c-ac^2}{(a+c)^2(b+c)^2}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow c(b-a)+abc.\frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)+2c(b-a)(b+a)+c^2(b-a)}{(a+c)^2(b+c)^2}=0[/tex]

[tex]\Rightarrow (b-a)[ c+ \frac{abc(a^2+b^2+c^2+ab+2ac+2bc)}{(a+c)^2(b+c)^2} ]=0[/tex]

И тъй като в дясната скоба всички елементи са положителни то остава [tex]a=b[/tex], което доказва теоремата.

Далеч по-любопитно е да се докаже чисто геометрично ( с еднакви триъгълници и допълнителни построения)

Благодаря math10.com! Запълнихте по чудесен начин подробностите, за които писах, че всеки сам трябва да си ги запълни. При това излагате най-близкото до ума аналитично решение, което, освен, че е лесно е и решение използващо само ученически знания. Всъщност, Вие изглежда и потвърждавате, че (намирането на) едно чисто геометрично решение би било по-трудно нещо, а значи и самото чисто геометричното решение би било по-трудно. Нека обаче, за протокола, отбележим, че всъщност Вашето решение се отклонява от схемата, която предложих. Идеята ми беше провокативна и се опитвах да въведа учениците в едно по-друго мислене, при което да не се разлага [tex]l_{a}^{2 }-l_{b}^{2}[/tex] на множители, от които единият е [tex]a - b[/tex], а другият не се анулира, а само да се предвиди и докаже възможността за такова разлагане. Дажее и това бих разгледал като ,,излишна" конкретизация на решението, което предвиждах. А именно, очаквах да е възможно да се докаже, използвайки минимално аналитичните изрази за ъглополовящите, че подповърхнината N на M не би могла да е съществена част от М, защото тогава [tex]N \cap T, N =\{(a,b,c) | a = b\}, T =\{(x,y,z) | c < a + b, a < b + c, b < c + a\}[/tex] би имала в [tex]M\cap T, M=\{(a,b,c) | l_{a}(a,b,c)=l_{b}(a,b,c)\}[/tex] непразна едномерна граница, което някак си лесно да се отхвърли като възможност също минимално използвайки аналитичните изрази за ъглополовящите. Разбира се, това би било решение със знания извън ученическиге, но дали пък не би могло подобна техника да стане толкова популярна за студентите по математика, че да може да се нарече и тя ,,лесна" след като веднъж за винаги се изчистят със съответни теореми необходимите ,,подробности"? Тези въпроси също са много любопитни, както и геометрично решение, което да е и най-лесното възможно.

[Румен Симеонов]

Линк към една предишна дискусия: https://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=1363