Сечение на пирамида с равнина

[nikola.topalov]

Нека [tex]\lambda[/tex] е равнината, минаваща през средите [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] съответно на ръбовете [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] на триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] и пресичаща ръба [tex]CD[/tex] в точка [tex]K[/tex], такава че [tex]DK:KC=2:3[/tex]. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнината [tex]\lambda[/tex], ако обемът на пирамидата е равен на [tex]5[/tex], а разстоянието от върха [tex]A[/tex] до [tex]\lambda[/tex] е равно на [tex]1[/tex].

Скрит текст: покажи

Отг.: [tex]S=3[/tex]. Задачата е от сборник по математика за [tex]9.-[/tex][tex]12.[/tex] клас и кандидат-студенти, [tex]II[/tex] издание, издателство ВЕДИ, [tex]2013[/tex]. Уникални задачи.

[Румен Симеонов]

Задачата много ми харесва. Доста трудничка е според мен, дори за конкурсен изпит за ученици. Иначе, за подготовка е перфектна.

[Румен Симеонов]

Нека [tex]\lambda[/tex] е равнината, минаваща през средите [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] съответно на ръбовете [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] на триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] и пресичаща ръба [tex]CD[/tex] в точка [tex]K[/tex], такава че [tex]DK:KC=2:3[/tex]. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнината [tex]\lambda[/tex], ако обемът на пирамидата е равен на [tex]5[/tex], а разстоянието от върха [tex]A[/tex] до [tex]\lambda[/tex] е равно на [tex]1[/tex].

Скрит текст: покажи

Отг.: [tex]S=3[/tex]. Задачата е от сборник по математика за [tex]9.-[/tex][tex]12.[/tex] клас и кандидат-студенти, [tex]II[/tex] издание, издателство ВЕДИ, [tex]2013[/tex]. Уникални задачи.

Задачата много ми харесва. С нетърпене очаквам някой да изнесе хубаво решене. Моля задачата да бъде фиксирана, който може да го направи, на първо място в списъка за насотящата седмица 10-16.04.2023г.

[Румен Симеонов]

Нека [tex]\lambda[/tex] е равнината, минаваща през средите [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] съответно на ръбовете [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] на триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] и пресичаща ръба [tex]CD[/tex] в точка [tex]K[/tex], такава че [tex]DK:KC=2:3[/tex]. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнината [tex]\lambda[/tex], ако обемът на пирамидата е равен на [tex]5[/tex], а разстоянието от върха [tex]A[/tex] до [tex]\lambda[/tex] е равно на [tex]1[/tex].

Скрит текст: покажи

Отг.: [tex]S=3[/tex]. Задачата е от сборник по математика за [tex]9.-[/tex][tex]12.[/tex] клас и кандидат-студенти, [tex]II[/tex] издание, издателство ВЕДИ, [tex]2013[/tex]. Уникални задачи.

Решение на Румен Симеонов.
Нека [tex]K_1[/tex] е средата на [tex]CD[/tex]. Понеже и [tex]М[/tex] е среда на [tex]AD[/tex], следва, че [tex]K_1М[/tex], като средна отсечка е успоредна на основата [tex]CA[/tex]. От [tex]DK:KC=2:3<1[/tex] следва, че [tex]K[/tex] е между [tex]K_1[/tex] и [tex]М[/tex], откъдето пък следва, че продължението на [tex]KМ[/tex] пресича продължението на [tex]CA[/tex] в някаква точка [tex]L[/tex], за която [tex]M[/tex] е между [tex]K[/tex] и [tex]L[/tex], а [tex]A[/tex] е между [tex]C[/tex] и [tex]L[/tex]. От теоремата на Менелай за триъгълника [tex]ACD[/tex] пресечен от правата [tex]KML[/tex] следва, че [tex](3/2)(1/1)(AL/LC)=1[/tex], откъдето следва, че [tex](CL/LA)=(3/2)[/tex]. Щом [tex]A[/tex] е между [tex]C[/tex] и [tex]L[/tex], а [tex]N[/tex] е между [tex]C[/tex] и [tex]B[/tex], следва, че отсечките [tex]NL[/tex] и [tex]AB[/tex] се пресичат в някаква точка [tex]T[/tex], която е между двете крайни точки на всяка от тях. От теоремата на Менелай за триъгълника [tex]ABC[/tex] пресечен от правата [tex]NTL[/tex] следва, че [tex](1/1)(3/2)(AT/TB)=1[/tex], откъдето следва, че [tex](BT/BA)=1/(BA/BT)=1/((BT+TA)/BT)=1/(1+TA/BT)=1/(1+(2/3))=3/5[/tex]. Чрез спускане на (обща) височина от върха [tex]A[/tex] към равнината [tex]BCD[/tex], в която лежат и двата триъгълника (основи на пирамиди с връх [tex]A[/tex]) [tex]BCD[/tex] и [tex]NCK[/tex] и като се използва формулата за обем на пирамида ,,основа по височина върху 3" установяваме, че [tex]V(NCKA)=V(BCDA)(S(NCK)/S(BCD))=V(BCDA)(NC.CK.sin( \angle(NCK))/(BC.CD.sin(\angle(BCD))=V(BCDA)((NC.CK)/(BC.CD))=V(BCDA)(NC/BC)(CK/CD)=V(BCDA)(1/2)(3/5)=(3/10)V(BCDA)=(3/2)[/tex], и следователно [tex]V(NCKA)=(3/2)[/tex]. По напълно аналогичен начин, понеже новите синуси, при върха [tex]B[/tex], този път, отново се съкращават, а отношенията, при върха [tex]B[/tex], отново са същите [tex](1/2)[/tex] и [tex](3/5)[/tex], както изведохме по-горе, получаваме, че и [tex]V(TBND)=(3/2)[/tex]. Предвид рарположението на точките което доказахме, имаме 5=V(ABCD)=V(TMKNA)+V(NCKA)+V(TNKMD)+V(TBND)=(1.x)/3+(3/2)+(1.x)/3+(3/2)=3+(2/3)x[/tex], където [tex]x=S(TMKN)=S(TNKM)[/tex] е търсеното лице на сечението с равнината [tex]\lambda[/tex], при което се възползвахме и от факта, че не само от върха [tex]A[/tex], но и от върха [tex]D[/tex] разстоянието до равнината на сечението също е 1, което пък лесно следва, от факта, че средата [tex]M[/tex] на отсечката [tex]AD[/tex] лежи в равнината [tex]\lambda[/tex] на сечението. От полученото [tex]5=3+(2/3)x[/tex] веднага следва, че [tex]x=3[/tex], с което решението на задачата завършва. Енджой.

[Gruicho]

Изключително много букви и нито един чертеж. Предназначено за хора със здрави нерви и пространствено мислене.

[Румен Симеонов]

Моля решението ми да се разбира условно: Ако би било изпълнено благопожеланието ,,Нека ..." от условието на задачата, то тогава търсеното лице на сечение БИ БИЛО числото 3. Засега, не нося отговорност дали благопожеьланието е изпълнимо, понеже не го твърдя. Трябват ми още букви, за да докажа, че благопожеланието е изпълнимо или, че не е изпълнимо и едва тогава окончателно ще твърдя, че съм намерил и е 3 търсеното лице или пък, съответно, може би, ще твърдя че такова лице не съществува и задачата няма решение, тъй като благопожеланието е неизпълнимо, ако е неизпълнимо. Груйчо недоволства, че съм използвал много букви, а на мен ми трябват дори повече отколкото има в българската азбука, а и малко от латинската. Впрочем, не съм доказал, а го приех, гледайки един направен от мен чертеж, че пирамидата ABCD се РАЗБИВА на съвкупността от пирамидите TMKNA + NCDA + TNKMD + TBND. Докато някой не ми помогне да го докажем, дотогава няма да съм напълно сигурен дали решението ми е вярно или е грешно поради използване на впечатление получено от чертеж, без да се докаже верността на впечатлението, за която вярност все още не е изключено да се окаже и недоказуема и-или невярна. Значи, задачата е нерешима, поради недостиг на букви за нейното решаване, а верният отговор е ,,няма решение". Впрочем, чертежите са забранени, защото са подвеждащи, като ни подвеждат да приемем видимото, но и привидното, за доказано, а без букви няма даказателство, нали? Я някой да ме осветли дали пък вече не се признават и чертежите за доказателства. Разни времена разни правила? Поставям като допълнитена задача на седмицата, или ако искате - като допълнение към задачата на седмицата, някой, може би най-подходящо е това да бъде този, който е постнал тук настоящата задача на седмицата, да докаже или отхвърли възможността да бъде реализирано благопожеланието ,,Нека ..." записано в условието на настоящата задача на седмицата.

[Румен Симеонов]

Като гледам, след като всички дружно се отказаха да философстват на тема що е триъгълник (а и фигура), всички ,,сили" се преориентираха и сега тук гъмжи от най-различни решения, кое от кое по-хубаво и по-икономично откъм количество думи. в него. Ако разрешите и аз да се включа в състезанието, предлагам ново и много кратко решение, как не се бях сетил досега, на задачата за намиране лицето на сечението.
Второ Решение на Румен Симеонов - с минимален брой думи:
,,3".
Хващам се на бас, че решение с по-малко думи не съществува. Моето е даже без думи, а съдържа само един знак - знака за числото 3. Впрочем, да не би да се окаже, че 3 е дума? Освен това - отговаря на всички изисквания: че е намерено лице- намерено е, няма спор. А в условието нямаше изискване да се докаже, че намереното наистина е това което се търси. Имам и други. решения, например:
,,0".
Разбира се, тръпнем да видим какво е решението на предложителя на задачата. Вярвам, че ни чака голяма, приятна и полезна изненада. Ех, веднъж само да свърши тази седмица!