екстремални задачи

[filip]

ако x.y =2 , намерете най малката стойност на (x+1)(y+2),където x и y са положителни

[filip]

има ли логическа грешка във условието на така зададените задачи

[grav]

има ли логическа грешка във условието на така зададените задачи

Защо смяташ, че има грешка?

[Румен Симеонов]

След израз като ,,ако [tex]x, y[/tex] са такива, че [tex]xy=2[/tex] ..." всичко което следва би трябвало да се отнася за едни ,,дадени" [tex]x, y[/tex]. И макар и "даването" да е възможно да бъде извърашено по много начини поставеният въпрос се отнася за всяко едно отделно такова задаване и, сответно отговорт на задачата би трябвало да е: при зададени [tex]x, y[/tex], стойностга на израза е единствена и не е променлива и нейната стойност е това единствено число, което е обозначено с този израз, и само то би могло и да играе и ролята и на ,,най-малка стойност" Авторът на задачата е имал предвид, обаче, да се намери най-малката стойност на този израз сред различните стойности, които този израз получава при всевъзможните задавания на двете числа [tex]x, y[/tex], при условие, че ще се задават само (и всички такива) двойки положителни числа [tex]x, y[/tex],за които е изпълнено [tex]xy=2[/tex], освен, че е изпълнено и [tex]0<x, 0<y[/tex], При такова разбиране на задачата, отговорът е: най-малка възможна стойност е стойността 8, която се приема от израза [tex](x+1)(у+2)[/tex] при задаването [tex]x=1, y=2[/tex].
Доказателство Задаването [tex]x=1, y=2[/tex] е едно от разглежданите в условието възможни задавания, защото [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex] са положителни числа, за които [tex]xy=1.2=2[/tex]. При това задаване стойността на израза е [tex](x+1)(y+2)=(1+1)(2+2)=2.4=8[/tex]. Тази е най-малката стойност приемана от израза при всевъзможните разглеждани задавания - тези за които е изпълнено [tex]0<x, 0<y, xy=2[/tex], защото за всяко такова задаване е изпълнено: [tex](x+1)(y+2)=xy+2x+y+2=2+2+2x+2/x=4+2(x+1/x)\geqq 4 +2\frac{x^2+1}{x}=4+2\frac{(x-1)^2+2x}{x}=4+2.2+2(1/x)(x-1)^2\geqq 4+4+0=8[/tex],

[Евва]

Скрит текст: покажи

Не съм сигурна в решението ,извинете ме ,ако греша .

а) Нека F=(x+1)(y+2)
[tex]F_{min }[/tex] =?

F=xy+2x+y+2 = 2+2x+y+2 = (2x+[tex]\frac{2}{x}[/tex] )+4 = 2.[tex]\frac{ x^{2 } +1 }{x}[/tex] +4

Намерихме F =2.[tex]\frac{ x^{2 }+1 }{x}[/tex] +4 (1)
Нека G= [tex]\frac{ x^{2 } +1}{x}[/tex] (2)

[tex]F_{min }[/tex] ще получим при [tex]G_{min }[/tex]
[tex]G_{min }[/tex] =?
[tex]G_{min }[/tex] ще получим при G' =0 т.е. производната на [tex]\frac{ x^{2 } +1 }{х}[/tex] =0

( [tex]\frac{ x^{2 }+1 }{х}[/tex] )' =0

[tex]\frac{( x^{2 } +1)' . x -( x^{2 } +1) .x' }{ x^{2 } }[/tex]= 0

[ ([tex]x^{2 }[/tex])' +1' ]x -([tex]x^{2 }[/tex]+1).1 =0
(2x+0)x -[tex]x^{2 }[/tex] -1 =0
2[tex]x^{2 }[/tex] -[tex]x^{2 }[/tex] -1=0
[tex]x^{2 }[/tex] -1=0
(x-1)(x+1)=0
По условие х>0 [tex]\Rightarrow[/tex] единствена екстремална стойност на G ще получим при х=1

От (2) намираме [tex]G_{min }[/tex]=[tex]\frac{ 1^{2 } +1}{1}[/tex] =2

От (1) намираме [tex]F_{min }[/tex]= 2.2+4 =8

[Румен Симеонов]

Скрит текст: покажи

Не съм сигурна в решението ,извинете ме ,ако греша .

а) Нека F=(x+1)(y+2)
[tex]F_{min }[/tex] =?

F=xy+2x+y+2 = 2+2x+y+2 = (2x+[tex]\frac{2}{x}[/tex] )+4 = 2.[tex]\frac{ x^{2 } +1 }{x}[/tex] +4

Намерихме F =2.[tex]\frac{ x^{2 }+1 }{x}[/tex] +4 (1)
Нека G= [tex]\frac{ x^{2 } +1}{x}[/tex] (2)

[tex]F_{min }[/tex] ще получим при [tex]G_{min }[/tex]
[tex]G_{min }[/tex] =?
[tex]G_{min }[/tex] ще получим при G' =0 т.е. производната на [tex]\frac{ x^{2 } +1 }{х}[/tex] =0

( [tex]\frac{ x^{2 }+1 }{х}[/tex] )' =0

[tex]\frac{( x^{2 } +1)' . x -( x^{2 } +1) .x' }{ x^{2 } }[/tex]= 0

[ ([tex]x^{2 }[/tex])' +1' ]x -([tex]x^{2 }[/tex]+1).1 =0
(2x+0)x -[tex]x^{2 }[/tex] -1 =0
2[tex]x^{2 }[/tex] -[tex]x^{2 }[/tex] -1=0
[tex]x^{2 }[/tex] -1=0
(x-1)(x+1)=0
По условие х>0 [tex]\Rightarrow[/tex] единствена екстремална стойност на G ще получим при х=1

От (2) намираме [tex]G_{min }[/tex]=[tex]\frac{ 1^{2 } +1}{1}[/tex] =2

От (1) намираме [tex]F_{min }[/tex]= 2.2+4 =8

.
Идеята е много добра. Аз много обичам да доказвам неравенства (и така да намирам екстремуми) с намиране на стойностите на функцията в точките, в които производната е равна на нула, неправилно наричани понякога локални екстремуми, а даже и само екстремуми, подразбирайки думата локални. Често пъти, но не винаги, те наистина се оказвт локални екстремуми, което, обаче, трябва да се доказва (кагаго е вярно, а и за да се разбере дали е вярно), а още по-несигурно е дали и кога някоя или някои от тях ще се окажат и глобални екстремуми т.е. - най-малка или най-голяма стоиност на функцията сред всички стойности в точки от интервала на разглеждане на функцията. Затова по-правилно е точкиге в които се анулира производната предварително да се наричат, което е и известна практиика, критични точки на функцията, а стойностите на функцията в критичните точки се наричат критични стойности. ,,Критичността" се състои в това, че за всяка критична стойност само от това,че е критина вси още не следва дали ще се окаже локален екстремум или не. Съществува един случай (с няколко варианта), в който е сигурно, че критичната стайност със сигурнхост се оказва (съответен) екстремум и то не само локален, но и глобален - т.е. - или се оказва най-малка стойност на функцията за целия интервал или се оказва най-голяма стойност на функцията за целия интервал. Използва се и израза ,,в интервала" вместо ,,за интервала". Твърдение от този.вид, аз наричам лема на Р. Симеоннов, по простата причина, че (1) те са помощни твърдения, (2) единствено Р. Симеонов, когато ги използва, указва, че ги използва и акцентира, че преди да се използват трябва и да се доказват, защото изглежда ги няма доказани в училищните учебници. Във всички случаи е налице изискване към решението поне да се указва какво се използва в него иначе, просто така, наричайки критичните стайности екстремуми е нагаждане, при което всъщност в решението без доказателство се използва предположението, че задачата няма как да няма решение ,,щом и дадена". Ако би било законно такова решение то със същатлта сила то би било решене и на модифицираната задача, в която вместо най-молка стойност се търси най-голяма стойност и вие отново бихте отговорили, че тя е стойността в единствената критична точка, която в случая е единствена и правилно сте я намерили, и тя отново би била 8. Значи, би се получило, че израза винаги дава 8, защото всяка негова стйност би била едновременно и по-малка или равна на 8 и по-голяма или равна на 8. Това очевидно не е вярно. Следователно, дадения текст все още не е решение. Това именно ни подскозва и самата забележка на Евва, че самата тя не е съвсем сигурна дали решението ѝ е правилно. Без допълнане със съответни доказателства не е правилно и не е решение. След като се допълни ще стане много хубаво решение.

[pal702004]

За първата задача е достатъчно АМ-ГМ, а именно $2x+y \ge 2\sqrt{2x\cdot y}$

За втората имаме $u^2+v^2=2$. Трябва да намерим $\max(u+v)$.

Тук е достатъчно че $(u+v)^2 \le 2(u^2+v^2)$

Скрит текст: покажи

Евва, 5 години във форума, сума ти добри мнения и решени задачи, толкова ли е трудно да се науат 5-6 правила на TEX

[Румен Симеонов]

има ли логическа грешка във условието на така зададените задачи

Донякъде да. Малко по-коректно би било, например, вместо ,,където" да се запише ,,докато" даваики идея за променливво задаване на числата. Но е общоприето на даскалите всичко да е разрешено, включително - да оставят като задължение за учениците сами да се досещат кой точно напълно коректин изказ е визиран от не съвсем кореектно записания. Иначе е коректна - наистина има най-малка стойност. А и да нямаше, даскалите пак биха казали, че задачата е коректно поставена, само дето трябвало отговорът да бъде ,,няма решение", като и трябвало да се докаже, че няма решение (ако наистина няма).

[Румен Симеонов]

За първата задача е достатъчно АМ-ГМ, а именно $2x+y \ge 2\sqrt{2x\cdot y}$

За втората имаме $u^2+v^2=2$. Трябва да намерим $\max(u+v)$.

Тук е достатъчно че $(u+v)^2 \le 2(u^2+v^2)$

Скрит текст: покажи

Евва, 5 години във форума, сума ти добри мнения и решени задачи, толкова ли е трудно да се науат 5-6 правила на TEX

Мдаа, аз се досещам за всичко недоизказано докрай от Вас и се възхищавам на краткостта на записаното от Вас. Но дали всеки се досеща? Впрочем, не се досещам дали признавате решението на Евва за решение, та най-важното е да коментирате начина на записнането му, впрочем - напълно ясен. Вие за какво допълнение на текста на Евва се досещате, което допълниние би го превърнал в решение? Щото играта на досещания е доста интересна, но само за знаещи, кото Вас и Мен , не и за (всички) подрастващи.

[Румен Симеонов]

има ли логическа грешка във условието на така зададените задачи

Защо смяташ, че има грешка?

Човека не твърди, а пита дали има логическа грешка. А ти защо смяташ, че човека смята че има (логическа) грешка в условието на задачата. Логически грешно ли е да смятам, че ти смяташ, че той смята, че в задачата има логическа грешка? Но пъм съм съгласен, че би било добре да попитаме човеко. Филип кое го кара да се съмнява дали в условието на задачата няма логическа грешка - за да можем да му дадем полезен отговор точно адресиращ неговите съмнеиния, а не да гадаем и да отговаряме на хипотетични съмнения.

[Румен Симеонов]

Ето и кратичко моето решение от по-горе, което е подходящо и за човек, който не знае наизуст неравенството между аритметичното средно и геометричното средно или не се досеща че може и как да го приложи за решаване на тази задача. Също и корени не се използват в него, което го прави разбираемо и за ученици от много малките класове. Но пък и дали това е решение или само може да се признае за упътване. За това решение питам:

Отговорът е 8,
защото [tex]2x+2/x=(2/x)((x-1)^2+2x)\geqq (2/x)(2x)=4[/tex],

което може да се запише и така:

Отговорът е 8, защото [tex]x^2 +1 \geqq 2x[/tex].

Имам и по-кратко решение:
Очевидно 8.

Като се замисля, понеже не е казано да се докаже, а само се иска да се намери, открих и най-краткото решение:

8.

[grav]

Човека не твърди, а пита дали има логическа грешка. А ти защо смяташ, че човека смята че има (логическа) грешка в условието на задачата. Логически грешно ли е да смятам, че ти смяташ, че той смята, че в задачата има логическа грешка? Но пъм съм съгласен, че би било добре да попитаме човеко. Филип кое го кара да се съмнява дали в условието на задачата няма логическа грешка - за да можем да му дадем полезен отговор точно адресиращ неговите съмнеиния, а не да гадаем и да отговаряме на хипотетични съмнения.

http://www.ams.org/notices/201009/rtx100901121p.pdf