Сфера и правилна триъгълна пирамида

[nikola.topalov]

Дадена е правилна триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] с основен ръб [tex]AB=3[/tex] и околен ръб [tex]AD=4[/tex]. Сфера минава през върха [tex]A[/tex] и се допира до средите на ръбовете [tex]BD[/tex] и [tex]CD[/tex]. Да се намери радиусът на сферата.

[Евва]

Ако правилният отговор е [tex]\frac{4 \sqrt{39} }{13}[/tex] , то задачата ми се струва лесна .

[Румен Симеонов]

Да обозначим средите на BD и CD с Б и Ц. Допиране на сфера до точка всъщност единствено означава, според мен, преминаване на сферата през точката. Следователно, визира се неизвестна, която и да е, сфера преминаваща през точките A, Б и Ц и имаща за център, следователно, произволна точка от правата перпендикулярна на триъгълника AБЦ и преминаваща през центъра на окръжността описана около този триъгълник, като радиусът ѝ, съответно, е или евентуално би могло да бъде и да се окаже, в зависимост от тайните предпочитания на автора на задачата, които апостериори и евентуално авторът би могъл да сподели с нас, всяко число по-голямо или равно на радиуса на споменатата описана окръжност, който радиус аз набързо изчислих, че е р = 3/8(√5 - 1), но моля някой да го преизчисли, за да не стане някоя непоправима грешка. Използвах, че равни наклонени имат равни проекции и че всяка наклонена е по-дълга от проекцията си, защото мисля, че това все още е така, независимо от евентуалните терминологични нововъведения. Впрочем, не съм сигурен дали пък средата на една отсечка е една точка или е геометричното място на всички точки, всяка от които е равно отдалечета т.е. на средата, от краищата на отсечката, предсавляващо една специфична равнина - ,,симетрала" на отсечката, в който случай центърът на сферата задължително(?) е точката D, а търсеният ѝ радиус би се оказал едновременно и 2 (от D до A) и 1(от D до Д и от D до Ц), което би означавало, че 1=2, или, че няма такава сфера и отговораът на задачата е ,,няма решение". Впрочем, от 1-ви то 12-ти клас някъде доказва ли се, че 2 е различно от 1? Задачата е много хубава и наистина става за задача на седмицата. Само не знам къде пише в кой ден от седмицата вече може да се предлага нова задача на седмицата, кой одобрява предложенията и докога не трябва да се създава нова дадача на седмицата. Някои да ми каже къде ги пише тия работи, като ми даде линк, за да ми е по-лесно самообучението ми. Мерси.

[S.B.]

Тази задача много ми напомня за следната :

Дадена е правилна триъгълна пирамида $ABCDQ$ с връх $Q$ .
Сфера $S$ минава през върха $A$, допира се до околните ръбове $BQ$ и $CQ$ в техните среди и пресича ръбовете $AB,BC$ и $AQ$ съответно във вътрешните точки $K,L$ и $M$ .Обемът на пирамидата $AKLM$ е [tex]\frac{1}{3}[/tex] от обема на пирамидата $ABCQ$
a) Да се намери ъгълът между околен ръб и равнината на основата на $ABCQ$
б) Aко $AB = 3$, да се намери радиусът на сферата $S$.

Задачата е от сборник "Кандидтстудентски конкурси по математика" на издателство ВЕДИ и има решение.

[Gruicho]

Тя даже си е същата, леко поокастрена...

[S.B.]

... пресича ръбовете $AB,BC$ и $AQ$ съответно във вътрешните точки $K,L$ и $M$ ...

Допуснала съм грешка
Да се чете :
...пресича ръбовете $AB,AC$ и $AQ$ съответно във вътрешните точки $K,L$ и $M$...
Моля за извинение!

[S.B.]

Тя даже си е същата, леко поокастрена...

Абсолютно сте прав!
За да се реши задачата на седмицата трябва да се съобрази,че въпросната сфера освен,че минава през върха $A$ и се допира до средите на $BD$ и $CD$ тя пресича и ръбовете $AB,AC$ и $AD$ във вътрешни точки,което е дадено в другата задача. Не е дадено,че обема на новополучената пирамида образувана от пресечните точки с ръбовете и сферата и върха $A$ е [tex]\frac{1}{3}[/tex] от обема на дадената пирамида,но това е компенсирано с условието,че околният ръб е $4$.И в двете задачи основният ръб на дадената пирамида е $3$
В крайна сметка и в двете задачи се търси радиусът на сферата описана около новополучената пирамида .

[nikola.topalov]

Ако правилният отговор е [tex]\frac{4 \sqrt{39} }{13}[/tex] , то задачата ми се струва лесна .

Отговорът е [tex]R=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}[/tex].

[Румен Симеонов]

Тази задача много ми напомня за следната :

Дадена е правилна триъгълна пирамида $ABCDQ$ с връх $Q$ .
Сфера $S$ минава през върха $A$, допира се до околните ръбове $BQ$ и $CQ$ в техните среди и пресича ръбовете $AB,BC$ и $AQ$ съответно във вътрешните точки $K,L$ и $M$ .Обемът на пирамидата $AKLM$ е [tex]\frac{1}{3}[/tex] от обема на пирамидата $ABCQ$
a) Да се намери ъгълът между околен ръб и равнината на основата на $ABCQ$
б) Aко $AB = 3$, да се намери радиусът на сферата $S$.

Задачата е от сборник "Кандидтстудентски конкурси по математика" на издателство ВЕДИ и има решение.

D за цвят ли е или е 5-тия връх на 3-ъгълната пирамида. Аналогичен въпрос за Q, а и дали пък не е Q=D та все пак да са 4 върховете на триъгълната пирамида, защото така съм свикнал още от малък? В сборника Q или D пише, или и двете?

[Румен Симеонов]

Дадена е правилна триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] с основен ръб [tex]AB=3[/tex] и околен ръб [tex]AD=4[/tex]. Сфера минава през върха [tex]A[/tex] и се допира до средите на ръбовете [tex]BD[/tex] и [tex]CD[/tex]. Да се намери радиусът на сферата.

Глупости, не му вярвайте. Не се допира до средите на ръбовете. Няма дефиниция за допиране на сфера до точка, въпреки моето предположение, че това би трябвало да означава сферата да минава през точката. Най-вероятно сферата се допира ДО ПРАВИТЕ НА РЪБОВЕТЕ, като заварките стават в средите на ръбовете, но и това не е казано в условието на задачата. Задачата приучава учениците на небрежно отношение към дефинициите и самопроизволното им тълкуване. Грешни задачи не решавам. За тях вярното решение е ,,няма решение"". В случая търсения падиус на сфера го няма, защото няма сфера, която да се допира до точка, пък била тя и среда на някой си ръб. Кога най-после ще свършат задачите от този сборник та някой от ФМИ или отдругаде да публикува негова авторска интересна задача. А, и моля, при преписването да се преписва точно. И все пак, не е лошо някой да препише отнякъде или сам да даде една дефиниция за понятието триъгълник. Крайно време е да започнем да знаем за какво говорим, а не само да знаем какви свойства има то според една жена от пазара. Нали?

[nikola.topalov]

Изобщо не сте ми интересен с тези изказвания. Относно задачата - преписана е дословно от сборник на Веди. Претенциите Ви можете да адресирате към авторите му.

[ammornil]

Глупости, не му вярвайте. Не се допира до средите на ръбовете. Няма дефиниция за допиране на сфера до точка, въпреки моето предположение, че това би трябвало да означава сферата да минава през точката.

Аз не съм завършил математика, но когато съм учил математика, допирната точка на сфера и права е точката на допиране на централна окръжност на сферата, лежаща в равнината определена от правата и центъра на сферата. С други думи, за да немерим точката на допиране, намираме сечението на сферата с равнина, съдържаща правата и центъра на сферата, и после така полученото сечение е окръжност която се допира до дадената права в единствена точка в равнината на сечение. Дефиницията се използва за решаване на задачи от сфера вписана в ръбесто тяло.
Аналогично, ако сфера се допира до равнина, то търсим една права в равнината, която съдържа допирната точка, намираме сечение на сферата определено от тази права и центъра на сферата, и допирната точка на това сечение с дадената права е допиранта точка на сферата с равнината. В този случай, няма значение коя права от равнината сме избрали, стига тя да минава през допиранта точка със сферата (с други думи, безкрайно много централни сечения на сферата ще се допират до равнината).
Надявам се това да Ви е от полза.

Послепис: моля въздържайте се от квалификации като "глупости", когато коментирате публикациите на други участници във форума. Всеки може да допусне грешка (а в конкретния сучай, аз не мисля че колегата е сбъркал в твърдението си).

[Румен Симеонов]

Изобщо не сте ми интересен с тези изказвания. Относно задачата - преписана е дословно от сборник на Веди. Претенциите Ви можете да адресирате към авторите му.

Е да, добре, така да е, но и Вие, като преписвате и предлагате без Ваш елемент грешни задачи без да ги коментирате, а и като казвате и посочвате конкретен отговор на задачата, твърдите, с тези си действия, вече от свое име, че е възможно сфера да се допира до точка и че от това следвало че се допира и до най-близката до ума права преминаваща през точката, и така вредите на учениците, а и на другите участници тук. Впроочем, на никого не би трябвало да е интересно Кой на Вас не Ви е интересен с неговите си изказвания. На участниците колективният интерес е да се предлагат коректно формулирани задачи, а по възмогнжост - и коректни решения и отговори. Декларация за Вашите вкусове и интереси, впрочем, за мен е добре, че не съм Ви интересен, а и за това, че задачата сте я преписал буквално - ОТ СБОРНИК, по никакъв начин не отменя недостатъците на задачата нито пък недостатъкът на вашето действие да предложите тук задача с такъв сериозен педагогически недостатък. Освен това, не е ясно дали сте я решил или поне проверил поне едно нейно решение. Не чувствате ли, че е малко некоректно да твърдите, че допирането на една сфера до онези две точки идентифицирало (заедно с останалата част от условието) еднозначно радиуса на сферата. По това се изкажете още веднъж и в прав текст, а не ни обяснявайте как не Ви е интересен някой, с неговите изказвания за недостатък на задачата, която Вие сте предложил. Съвет към кого да отправям и какви мои претенции не сиъм Ви искал. Ако имате участие в собственостга на форума изтъкнете това именно като причина да не се съобразявате с обективните факти и за желанието Ви предимно Вие да публикувате задачи на седмицата. В крайна сметка, учениците трябва да знаят има ли задачата, така както е поставена, решение и отговор - конкретно число, а с това и да разберат може ли и кога една сфера да се допира до точка и какво следва от това, а и да се научат кога може и трябва да запишат за отговор на задачата израза ,,няма решение". Грешната граматика на изречение от условието на една математическа задача поставя ученика, а и всеки, който ще я решава, в унизително и объркващо положение, каквото той с нищо не заслужил, а и го приучава и той да употребява граматически грешен български език. Защо просто не се извините, че сте проспал недостатък, идващ от автора на задачата, и не поправите текста, като запишете, че сферата се допира до правите, определени от крайните точки на посочените ръбове, при което съответното допиране става в съответната среда на съответния ръб, а не да заставате на страната на автора на задачата и да извинявате себе си с неговия авторитет, само защото той е успял да я включи в СБОРНИК? Как Ви се вижда тази идея?

[Румен Симеонов]

Глупости, не му вярвайте. Не се допира до средите на ръбовете. Няма дефиниция за допиране на сфера до точка, въпреки моето предположение, че това би трябвало да означава сферата да минава през точката.

Аз не съм завършил математика, но когато съм учил математика, допирната точка на сфера и права е точката на допиране на централна окръжност на сферата, лежаща в равнината определена от правата и центъра на сферата. С други думи, за да немерим точката на допиране, намираме сечението на сферата с равнина, съдържаща правата и центъра на сферата, и после така полученото сечение е окръжност която се допира до дадената права в единствена точка в равнината на сечение. Дефиницията се използва за решаване на задачи от сфера вписана в ръбесто тяло.
Аналогично, ако сфера се допира до равнина, то търсим една права в равнината, която съдържа допирната точка, намираме сечение на сферата определено от тази права и центъра на сферата, и допирната точка на това сечение с дадената права е допиранта точка на сферата с равнината. В този случай, няма значение коя права от равнината сме избрали, стига тя да минава през допиранта точка със сферата (с други думи, безкрайно много централни сечения на сферата ще се допират до равнината).
Надявам се това да Ви е от полза.

Послепис: моля въздържайте се от квалификации като "глупости", когато коментирате публикациите на други участници във форума. Всеки може да допусне грешка (а в конкретния сучай, аз не мисля че колегата е сбъркал в твърдението си).

Да, много сте прав ,,.. допирна точка на сфера и права..", т.е. - допиране на сфера до права в точка, а не допиране до точка. Прав сте и че много прави, оформящи цяла равнина, може да се допират до сферата в една и съща точка. Но все пак, трябва да сте посочили поне една от тези прави и да сте казали, че сферата се допира до нея. Обаче, когато е дадена само допирната точка, не сте прав, че е без значение до коя от правите минаващи през точката ще се допира сферата. Забележете също, че даже не е дадено някакво допиране до права (или равнина, които и да са те), а е казано че се допиира до среда на ръб, която среда, разбира се, е точка, а не е права (и не е и равнина), и не е казано, че сферата се допира до правата на ръба, а и до която и да е права - не е спомената права въобще. Не е споменато и допиране до ръб, което също би било объркващо. Употребено е допиране до точка, а такова чудо няма, а и да би имало то същото не би имало за последствие допиране и до ръба или до правата на ръба.

[ammornil]

Прав сте и че много прави, оформящи цяла равнина, може да се допират до сферата в една и съща точка. Но все пак, трябва да сте посочили поне една от тези прави и да сте казали, че сферата се допира до нея. Обаче, когато е дадена само допирната точка, не сте прав, че е без значение до коя от правите минаващи през точката ще се допира сферата.

Въз основа на няколкото поста които сме си разменяли с Вас, мога да заключа само, че аз и Вие сме учили различни основи на математиката. Всяка отсечка е по същество подмножество на права, следователно средата на ръб от дадено тяло е по същество точка от дадена права: след като е даден ръбът, значи е определена правата, а краищата на всяка отсечка определят точно една точка от отсечката която е равноотдалечена от краищата ѝ и следователно е единствена среда на отсечката.
Няма да споря за семантиката на това какво е точка, съществува ли, и колко точки има на дадена дължина от права, това са въпроси за науката философия, не за науката математика.

На по-обща тема: желанието Ви да влезете в конфликт с всеки възможен пост в сайта, аз лично намирам за притеснително. Изглежда ми, че имате много натрупано вътрешно напрежение (от липса на реализация или от свръхинтелигентност, не смея да гадая), но ако позволите да вметна тук- може би е добре да потърсите някой или група от хора в реалния живот, с когото/които да разтоварвате това напрежение в безопасна и подкрепяща среда. Като накой, минал по този път, мога да Ви уверя че ще се почувстате много по-добре, отколкото да пишете по сто параграфа в сайт, в който малцина ще откликнат на желанието Ви "да търсите неотркрити истини".

[S.B.]

D за цвят ли е или е 5-тия връх на 3-ъгълната пирамида. Аналогичен въпрос за Q, а и дали пък не е Q=D та все пак да са 4 върховете на триъгълната пирамида, защото така съм свикнал още от малък? В сборника Q или D пише, или и двете?

Колега Симеонов, вече не само не сте интересен,но сте и досаден!Всеки нормален съфорумец ще разбере,че това е техническа грешка,получена при набиране на текста.Но не това е най- важното.Вие критикувате наред - с причина и без причина,защото сте безкрайно озлобен от факта,че в този форум никой не се интересува от Вашите абстрактни идеи.Вие се изживявате като непризнат гений, но вече сте разбрал ,че в този форум никой няма да се поклони пред блестящия Ви ум и блестящите Ви идеи!
Мислех да Ви го спестя,но Вие сам търсите да го чуете!Е,добре,прочетете:
Преди години правих статистиката за докторската дисертация на един психиатър.Както се досещате трябваше да понауча доста неща от психиатрията за да мога да си свърша работата.Та това,което разбрах беше,че най - разпространените неврози са НЕВРЪСТЕНИЯ,ХИСТЕРИЯ и ПСИХАСТЕНИЯ.
Третата разновидност се наблюдава най-често при мисловния тип нервна система и се изразява като съчетание на натрапливи мисли и действия,каквито демонстрирате Вие непрекъснато във вашите постове.Причините за появата на ПСИХАСТЕНИЯТА се дължат най-често на продължително действащи фактори на околната социална среда върху личността.
Моят съвет е да си направите собствен математически сайт,в който да изразявате всичко онова,което Ви вълнува,без да притеснявате хората около Вас.Също така ако Ви е предписано някакво лечение - спазвайте го стриктно.Никой не е длъжен да Ви търпи!

[Румен Симеонов]

D за цвят ли е или е 5-тия връх на 3-ъгълната пирамида. Аналогичен въпрос за Q, а и дали пък не е Q=D та все пак да са 4 върховете на триъгълната пирамида, защото така съм свикнал още от малък? В сборника Q или D пише, или и двете?

Колега Симеонов, вече не само не сте интересен,но сте и досаден!Всеки нормален съфорумец ще разбере,че това е техническа грешка,получена при набиране на текста.Но не това е най- важното.Вие критикувате наред - с причина и без причина,защото сте безкрайно озлобен от факта,че в този форум никой не се интересува от Вашите абстрактни идеи.Вие се изживявате като непризнат гений, но вече сте разбрал ,че в този форум никой няма да се поклони пред блестящия Ви ум и блестящите Ви идеи!
Мислех да Ви го спестя,но Вие сам търсите да го чуете!Е,добре,прочетете:
Преди години правих статистиката за докторската дисертация на един психиатър.Както се досещате трябваше да понауча доста неща от психиатрията за да мога да си свърша работата.Та това,което разбрах беше,че най - разпространените неврози са НЕВРЪСТЕНИЯ,ХИСТЕРИЯ и ПСИХАСТЕНИЯ.
Третата разновидност се наблюдава най-често при мисловния тип нервна система и се изразява като съчетание на натрапливи мисли и действия,каквито демонстрирате Вие непрекъснато във вашите постове.Причините за появата на ПСИХАСТЕНИЯТА се дължат най-често на продължително действащи фактори на околната социална среда върху личността.
Моят съвет е да си направите собствен математически сайт,в който да изразявате всичко онова,което Ви вълнува,без да притеснявате хората около Вас.Също така ако Ви е предписано някакво лечение - спазвайте го стриктно.Никой не е длъжен да Ви търпи!

D за цвят ли е или е 5-тия връх на 3-ъгълната пирамида. Аналогичен въпрос за Q, а и дали пък не е Q=D та все пак да са 4 върховете на триъгълната пирамида, защото така съм свикнал още от малък? В сборника Q или D пише, или и двете?

Колега Симеонов, вече не само не сте интересен,но сте и досаден!Всеки нормален съфорумец ще разбере,че това е техническа грешка,получена при набиране на текста.Но не това е най- важното.Вие критикувате наред - с причина и без причина,защото сте безкрайно озлобен от факта,че в този форум никой не се интересува от Вашите абстрактни идеи.Вие се изживявате като непризнат гений, но вече сте разбрал ,че и в този форум никой няма да се поклони пред блестящият Ви ум и блестящите Ви идеи!
Мислех да Ви го спестя,но Вие сам търсите да го чуете!Е,добре,прочетете:
Преди години правих статистиката за докторската дисертация на един психиатър.Както се досещате трябваше да понауча доста неща от психиатрията за да мога да си свърша работата.Та това,което разбрах беше,че най - разпространените неврози са НЕВРЪСТЕНИЯ,ХИСТЕРИЯ и ПСИХАСТЕНИЯ.
Третата разновидност се наблюдава най-често при мисловния тип нервна система и се изразява като съчетание на натрапливи мисли и действия,какваито демонстрирате Вие във вашите постове.Причините за появата на ПСИХАСТЕНИЯТА се дължат най-често на продължително действащи фактори на околната социална среда върху личността.
Моят съвет е да си направите собствен математически сайт,в който да изразявате всичко онова,което Ви вълнува,без да притеснявате хората около Вас.Също така ако Ви е предписано някакво лечение - спазвайте го стриктно.Никой не е длъжен да Ви търпи!

Можеше и по-кратко да отговорите на шеговитото ми посочване на техническата грешка, например:

1. Да за цвят, D е моя техническа грешка. В сборника има само Q.
Или пък:
2. Не, Q е за цвят - моя техническа грешка.В сборника има само D.
Или пък:
3. Не бе не, и D и Q ги има в задачата от сборника, погрешно тук записах, че пирамидата е триъгълна. Всъщност, във визираната задача от сборника пирамидата е четириъгълна.

Не съм съгласен и с Вашето мнение, че Груйчо, какво интересно име - приемам го за хубаво чувство да хумор, чрез самоирония, която, разбира се, е неоправдана, което ще се потвърди от събеседващите с него, бил абсолютно прав, като казва, че задачата даже е същата само малко е поокастрена. Може също да е имал намерение, че ще играе да покаже, че ще играе роля на неразбиращ, който все хак ще задава смислени въпроси и е любознателен. Няма проблем от моя страна и това да му е рожденното име.

А) В циитираната от Груйчо задача коректно е казано, че сферата се допира до ръбовете в средите им, а не че се допира до средите на ръбовете, както некоректно е записано в настоящата задача.

Б) Между компенсиращото и компенсираното не се вижда лесен преход от едното към другото зададено и затова задачите са доста различни, по мое скромно мнение, което не сте длъжна да споделяте.

Подлагам на съмнение и психиатричните ви умозаключения, но това пак си е мое лично мнение.

Виждам прилика в начичините на реакция свързани с психология, медицина и лекарства, между Вас и ammornil. Впрочем дали това псевдоиме Ви говори както и на мен, че човека въобще няма намерение да отдава никаква обич/любов или пък, че страда от неполучанане на каквато и да обич/любов. Щото си мисля, че ammor цели да направи асоциация с обич/любов, а nil - асоциация с никак/николко/никаква.

Вашите реакции, а и моите писания, а и тези та ammornil трябва/предлагам всички да се съгласим, несъмнено доказват, или поне потвърждават, че в решаването на математимески задачи движеща сила са любовта и омразата свързани с себеизява, самозащита, нападение. Предложителят на задачата, пък, за разлика от Вас, се движи от друга сила - подобна на желанието на щрауса да скрие главата си в пясъка, а и да прехвърли причината на другиго. Ако и amnornil чете това, нека да забележи, че предложителя на задачата вече се разграничи от автора на задачата и, следователно, глупости или не, написаното условие няма как да носи негативи за предложителя, а, съответно, аз няма как да съм го обидил него., а в най-лошия случай съм обидил малко автора на задачата, ако и той няма чувство за хумор.
Емоциите са важно нещо!

А сега за задачата. Пак ли аз трябва да реша и тази поредна стереометрична задача на седмицата. Някой да иска да ме замести/изпревари? Аз вече съм я решил наполовина, или поне съм подал идеята, но никой не коментира този ми пост, а и не дава собствено решение или собствена идея поне. Защо ли? Едва ли е въъпрос само на психологична нагласа. Добре би било някой да каже и какво означава термина триъгълник, според училищните учебници - а, не чух ?

[ammornil]

Когато думите не казват нищо,
което устните да разберат,
изгубват свойта мелодичност,
не могат ми плени слуха.
О, как мечтая за това
да нямаше за мен слова!

Скрит текст: покажи

Потребителското ми име е от Куеня, език разработен от Дж. Р. Р. Толкин за фантастичния свят на Средната Земя. В Рóманските езици дума за любов няма двойно "ем" (Lat: amare / IT: amore / ES: amar / PO: amor / FR: aimer / RO: dragoste)

[nikola.topalov]

Изтощителен ставаш, знаеш ли. Да не говорим за отчаяния опит в последния ти коментар да ни категоризираш по някакъв абсолютно комичен начин: “… и в заключение nikola.topalov се представя за жертва, ammornil пък мрази всички…” . Да не е това твоят защитен механизъм, който се включва при критика? Или са дисертациите, които пишеш, в опит да избегнеш ядрото на темата? Защото досега аз лично не съм видял един директен и кратък отговор от теб, който да обхваща поставения в предния коментар казус. Мислиш си, че си ни интересен, но те уверявам, че си просто поредния клоун в този сайт, който губи своето време и това на останалите съфорумници. Самозаблудата е ментално заболяване. Оздравявай бързо!

[Румен Симеонов]

Изтощителен ставаш, знаеш ли. Да не говорим за отчаяния опит в последния ти коментар да ни категоризираш по някакъв абсолютно комичен начин: “… и в заключение nikola.topalov се представя за жертва, ammornil пък мрази всички…” . Да не е това твоят защитен механизъм, който се включва при критика? Или са дисертациите, които пишеш, в опит да избегнеш ядрото на темата? Защото досега аз лично не съм видял един директен и кратък отговор от теб, който да обхваща поставения в предния коментар казус. Мислиш си, че си ни интересен, но те уверявам, че си просто поредния клоун в този сайт, който губи своето време и това на останалите съфорумници. Самозаблудата е ментално заболяване. Оздравявай бързо!

Абе всички се изписахте лекари, но само аз ти решавам задачите. За предишаната поне да беше изложил някое твое решение. Да беше сравнил твоето с моето и да кажеш, кое какви предимства има, недостатъци, може би. А то какво, сега казваш индирекно, че (като избягвам казусите) не решавам задачите. Е как така ги избягвам като реших предишната ти задача. Или ти говориш само за сегашната задача и само за психоаналитичните казуси? Или казваш че решението ми на предишната ти задача е избягване на казуси. А бе кажи поне дали си го проверил, разбрал и дали го смяташ, че е вярно, лесно, кратко ??? решение, защото с това ти мълчание ... По отношение на сегашната задача. Само аз съм я коментирал по същество и коментарът ми е полезен, даже много полезен. Указал съм важния момент, че преди всичко трябва да се забележи, че центърът на въпросната сфера се проектира в центъра на окръжността описана около трите точки, за които се знае, че лежат на сферата - точката A и средите на ръбовете ВD e CD. Указал съм че е важно да се изчисли радиуса на тази описана окръжност. Изчислил съм го набързо, като в последния момент изглежда съм хванал формулата за радиус на вписана окръжност, а не за описана окръжност. Съобщил съм, че не съм сигурен в изчислениео си. Помолил съм някой да го провери, а значи и да изчисли радиуса на споменатата описана окръжност. Сега ще ви подскажа как да решите задачата ако следвате моите инструкции.
1. Изчиислете въпросния радиус на описана окръжност - лесно се намират всички страни на триъгълника AБЦ около който е описанна, Б - среда на BD, Ц - среда на CD..
2. В равнината на триъгълника ABD от средата Б на BD издигнете перпендикуляр към този ръб и обозначете с К мястото в което той пресича ръба AD Същото К се получава ако в равнината на ACD издигнете перпендикуляр от средата Ц на CD. Следователно, К лежи във всяка от симетралните равнини Бета и Гама на ръбовете BD и CD. В Бета и Гама лежи и центърът на сферата, затова търсим пресечнаа права на тези 2 равнини и засега намерихме една точка от нея - точката К на AD
3. В равнината на триъгълника BCD от средата B на BD издигнете перпендикуляр към този ръб и обозначете с L мястото в което той пресича апотемата DM (M - средата на BC) на околната стена BCD. Същото L се получава ако в равнината на BCD издигнете перпендикуляр от средата Ц на CD и го пресечете със същата апотема. Следователно, намерихме още една точка - L, която лежи във всяка от равнините Бета и Гама, а следователно - лежи и в общата им пресечна права. На същата права, и то в отсечката с краища К и L лежи и центъра, да го обозначим с О, на сферата - да я обозначим с S.
4. В триъгълника AMD (M - средата на BC) всичко може да се изчисли - страни и разстояния на К до А и до D, съответно на L до M и до D. Обозначаваме с N средата на апотемата MD. Тя също е и средата и на БЦ. На отсечката AN на отстояние от A равно на намерения по-горе радиус на описана окръжност около АБЦ се намира центъра, да го оцозначим с О1, на тази описана окръжност. Освен на отсечката KL центърът О на сферата S лежи също и на перпендикуляр издигнат от точката О1 към равнината на триъгълника АБЦ, а той се оказва всъщност лежащия в равнината на AMD перпендикуляр към АN издигнат в точката О1.
5. Обозначаваме с t числото между 0 и 1 и образуваме точките T=Т(t) - край на вектор AT = АL + t.LK. Центърът О на S е тази от точките T=Т(t), получена с това t, за което АТ-АО1 е вектор перпендикулярен на вектора АО1. Пишем, че скаларното произведение е нула и намираме t=t0. С това t0 намираме и скаларния квадрат на вектора АТ, Т=Т(t0) т.е. на вектора АО т.е - намираме квадрата на търсения радиус.

Ха дано някой намери по-кратко решение. Обаче, аз си харесвам моето (засега). Аз и не претендирам, че давам най-кратки решения. Аз се стремя да давам решения с най-малко мислене, и най-малко досещания, като най-много се използват стандартни методи. Изграждам си метод за намиране на отговора, като се отразят последователно елементите от условието на задачата, а от там нататък до решението става ясно какво трябва да се изчислява - в случая - намиране на разни положения на точки и дължини на отсечки в триъгъллника AMD по известни други положения на точки и дйлжини. Решението ми е добро и от гледна точка трениране на работа с вектори с цел именно намиране на такива положения и дължини по дадени или преди това намерени други такива. Е, разбира се, бих се насладил на някое решение в два или молко повече реда, ако има някой изобретателен младеж с по-добър усет и способности за по-бързо откриване на елегантни решения, а и ако въобще задачата допуска такъв вид решение. С моите приятели от AoPS ние вече се сработихме по този начин. Аз им намирам отговора, чрез стандартна употреба на съответен вариант на лемата на Р. Симеонов, а те след това се нахвърлят, като вече знаят отговора, да намерят най-краткото възможно решение, и действително намират страхотно кратки решения, много съм доволен от тях. Все пак, забелязвам, че за най-кратките решения трябва най-много време и усилия за откриването им. Така, че, въпреки известната тромавост на моя метод, аз ги изпреварих моите световни приятели от американския олимпийски сайт AoPS. Впрочем, никой от тях не се интересува от психология и не пише за болести и лекарства. Аз да не съм сбъркал форума? Ама и да съм, нищо, и така е интересно.
Ох, щях да забравя да попитам пак: А бе някой знае ли какво е това триъгълник според училищните учебници? Иии, да внимаваме с чувството си за хумор.

[nikola.topalov]

Само ти ми решаваш задачите ли? Защо да не пренебрегнем страхотните решения, които колегите S.B., КОРМОРАН, Eвва, Davids, Hephaestus и много други са давали на задачите, които качвам от [tex]2021[/tex]? В редките случаи, в които задача на седмицата остава нерешена, качвам решение накрая, както ще направя в случая, но малко по-късно.

[Румен Симеонов]

Само ти ми решаваш задачите ли? Защо да не пренебрегнем страхотните решения, които колегите S.B., КОРМОРАН, Eвва, Davids, Hephaestus и много други са давали на задачите, които качвам от [tex]2021[/tex]? В редките случаи, в които задача на седмицата остава нерешена, качвам решение накрая, както ще направя в случая, но малко по-късно.

Дада, така е, аз съм виждал такива за които говориш. Имах предвид. само последните 2 задачи, откакто аз съм тук. И няма ли да кажеш откога докога могат да се качват задачи на седмицата и къде ги пише тия правила, че не мога да се вредя , без набързо да ми поставят диагноза някакви лекари дилетанти, и аз да качвам задачи на седмицата. А някой знае ли какво е това триъгълник, според училищните учебници? Ще се развам да публикуваш и решение различно от моето и на предишната стереометрична задача. Защо пропусна да го качиш?
Предлагам да качваш решението, което си имал предвид независимо дали задачата е била решена от някото или не е била. Повече решения - по-добре.

[ammornil]

Дада, така е, аз съм виждал такива за които говориш. Имах предвид. само последните 2 задачи, откакто аз съм тук. И няма ли да кажеш откога докога могат да се качват задачи на седмицата и къде ги пише тия правила, че не мога да се вредя , без набързо да ми поставят диагноза някакви лекари дилетанти, и аз да качвам задачи на седмицата. А някой знае ли какво е това триъгълник, според училищните учебници? Ще се развам да публикуваш и решение различно от моето и на предишната стереометрична задача. Защо пропусна да го качиш?
Предлагам да качваш решението, което си имал предвид независимо дали задачата е била решена от някото или не е била. Повече решения - по-добре.

На кратко: ако искате да поставите задача за разглеждане, просто я публикувайте в подходящата субсекция на даден раздел. Няма нужда да е в Задача на седмицата. Задачата на седмицата е лимитирана в това с какви знания трябва да е възможно да се представи решение, нещо което специализираните раздели не налагат.

Отново на кратко: невъзможността Ви да възприемете критика под каквато и да е форма или да модифицирате поведението си съобразно общоприета форма на общуване в група, дори когато Ви се казва от множество участници в групата, говори за нарцистичност и липса на реализация на желанията или амбициите, изразена в нуждата да имате последната дума във всеки разговор, дори когато не е необходимо. Не е нужно човек да е специалист по психология за да разпознае генералните характеристики на някои често срещани патологии (също както не е нужно човек да е лекар по хуманна медицина за да разпознае течащ нос от настинка и да препоръча лечение). Някои неща се учат в училище, други- в житейската практика.

[nikola.topalov]

Дада, така е, аз съм виждал такива за които говориш. Имах предвид. само последните 2 задачи, откакто аз съм тук. И няма ли да кажеш откога докога могат да се качват задачи на седмицата и къде ги пише тия правила, че не мога да се вредя , без набързо да ми поставят диагноза някакви лекари дилетанти, и аз да качвам задачи на седмицата. А някой знае ли какво е това триъгълник, според училищните учебници? Ще се развам да публикуваш и решение различно от моето и на предишната стереометрична задача. Защо пропусна да го качиш?
Предлагам да качваш решението, което си имал предвид независимо дали задачата е била решена от някото или не е била. Повече решения - по-добре.

На кратко: ако искате да поставите задача за разглеждане, просто я публикувайте в подходящата субсекция на даден раздел. Няма нужда да е в Задача на седмицата. Задачата на седмицата е лимитирана в това с какви знания трябва да е възможно да се представи решение, нещо което специализираните раздели не налагат.

Отново на кратко: невъзможността Ви да възприемете критика под каквато и да е форма или да модифицирате поведението си съобразно общоприета форма на общуване в група, дори когато Ви се казва от множество участници в групата, говори за нарцистичност и липса на реализация на желанията или амбициите, изразена в нуждата да имате последната дума във всеки разговор, дори когато не е необходимо. Не е нужно човек да е специалист по психология за да разпознае генералните характеристики на някои често срещани патологии (също както не е нужно човек да е лекар по хуманна медицина за да разпознае течащ нос от настинка и да препоръча лечение). Някои неща се учат в училище, други- в житейската практика.

Не виждам смисъл да се води разговор с него. Все едно говорим на стена.

[S.B.]

[tex][/tex]

Дадена е правилна триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] с основен ръб [tex]AB=3[/tex] и околен ръб [tex]AD=4[/tex]. Сфера минава през върха [tex]A[/tex] и се допира до средите на ръбовете [tex]BD[/tex] и [tex]CD[/tex]. Да се намери радиусът на сферата.

Без заглавие - 2023-05-01T221445.612.png (492.49 KiB) Прегледано 3413 пъти

Сферата пресича ръбовете на пирамидата $ABCD$ както следва:
$AD$ в точка $K$, $AB$ в точка $P$ и $AC$ в точка $Q$
Минава през т.$A$ и се допира до ръбовете $BD$ и $CD$ в средите им т.$M$ и т.$N$
Разглеждам стената $ABD$:
Прилагам свойството за секуща и допирателна от точката $D$ към окръжността описана около [tex]\triangle ABD[/tex]:
[tex]AK = y , AP = x[/tex]
[tex]DA.DK = DM^{2 } \Leftrightarrow 4.(4 - y) = 2^{2 } \Leftrightarrow 4 - y = 1 \Rightarrow y = 3 \Leftrightarrow AK = 3[/tex]
Прилагам свойството за секуща и допирателна от т.$B$ към окръжността описана около [tex]\triangle ABD[/tex]
[tex]BA.BP = BM^{2 } \Leftrightarrow 3(3 - x) = 2^{2 } \Leftrightarrow 9 - 3x = 4 \Leftrightarrow3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \Leftrightarrow AP = \frac{5}{3}[/tex]
Аналогично за стената $ACD$ получавам [tex]AQ = \frac{5}{3}[/tex]
[tex]A A_{1 } \bot BC , A A_{1 } = \frac{3 \sqrt{3} }{2}[/tex] защото [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен
[tex]DH \bot ABC , H \in A A_{1 } , AH = \frac{2}{3}A A_{1 } \Rightarrow AH = \sqrt{3}[/tex]
Нека [tex]\angle DAH = \varphi[/tex]
От [tex]\triangle AHD \rightarrow \frac{AH}{AD} = \cos \varphi \Rightarrow \cos \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{4}[/tex]

Сферата е описана около пирамидата $APQK$
[tex]AP = AQ \Rightarrow PQ || AB \Rightarrow \triangle APQ[/tex] е равностранен със страна [tex]\frac{5}{3}[/tex]
[tex]PQ \cap A A_{1 } = G, AG = \frac{5}{3} \frac{ \sqrt{3 } }{2} \Rightarrow AG = \frac{5 \sqrt{3} }{6}[/tex]
Ако т.$O$ е център на описаната сфера,то тогава $OA = OP = OQ = OK = R$
От $OA = OP = OQ$ следва.че т.$O$ е връх на правилна триъгълна пирамида $APQO$ .
T. $O$ ще се проектира върху основата в т.[tex]E \in AG[/tex] и [tex]AE = \frac{2}{3}AG \Leftrightarrow AE = \frac{2}{3} \frac{5 \sqrt{3} }{6} \Rightarrow AE = \frac{5 \sqrt{3} }{9}[/tex]
От [tex]OA = OK \rightarrow O \in S_{AK }[/tex] и т.$O$ се проектира върху т.$T$ ,която е среда на [tex]AK \Rightarrow AT = \frac{3}{2}[/tex]
Около четириъгълника $AEOT$ може да се опише окръжност,чийто диаметър е $AO = R$
Ако приложим Синусова теорема за [tex]\triangle AET[/tex] ще получим ,че [tex]\frac{ET}{\sin \varphi } = AO[/tex]
За [tex]\triangle AET[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]ET^{2 } = AE^{2 } + AT^{2 } - 2.AT.AE .\cos \varphi \Leftrightarrow ET^{2 }= (\frac{5 \sqrt{3} }{9}) ^{2 } + ( \frac{3}{2} )^{2 } - 2. \frac{5 \sqrt{3} }{9}. \frac{3}{2}. \frac{ \sqrt{3} }{4} \Leftrightarrow ET^{2 } = \frac{156}{81}[/tex]
[tex]\Rightarrow ET = \frac{2 \sqrt{39} }{9}[/tex]
[tex]\cos \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{4} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{ \sqrt{13} }{4}[/tex]
За [tex]\triangle ATE[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\displaystyle \frac{ET}{\sin \varphi }= OA \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2 \sqrt{39} }{9} }{\displaystyle \frac{ \sqrt{13} }{4} } = \displaystyle \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{13} }{9 \sqrt{13} }[/tex]
$$\Rightarrow OA =R = \frac{8 \sqrt{3} }{9}$$