Какво трябва или не трябва да се доказва в едно решение

[Румен Симеонов]

Дадена е правилна триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] с основен ръб [tex]AB=3[/tex] и околен ръб [tex]AD=4[/tex]. Сфера минава през върха [tex]A[/tex] и се допира в средите на ръбовете [tex]BD[/tex] и [tex]CD[/tex] съответно до правите на тези ръбове. Докажете, че центърът на сферата се намира вътре в пирамидата (макар и доста близко до ръба [tex]AD[/tex], а ако не Вие проблем, моля и пресметнете разстоятнето му до всяка от стените на пирамидата, но и да не го направите, задачата ще се счита за решена, ако дадете търсеното доказателство, а дори и да намерите/посочите тези разстояния, ако не дадете търсеното доказателство, ще се счиата, че не сте решил/а задачата).

[ptj]

Нищо сложно- може да я сведеш до планиметрия.
Да означим съответно с [tex]N,М[/tex] средата на BC и средата на нейната средна отсечка (за [tex]\triangle CBD[/tex]).

Центъра на сферата лежи в равнина перпендикулярна на [tex](BCD)[/tex] и в равнина симетрална за отсечката свързваща средите на [tex]BD[/tex] и [tex]CD[/tex].
Сечението на горните две равнини е симетралата на [tex]DN[/tex] в равнината определена от [tex]\triangle AND[/tex] и нека тя пресича [tex]AD[/tex] в точка P.

Тогава да лежи центъра на сферата вътре пирамидата е еквивалентно той да е вътрешна точка за отсечката PM, т.е. PM да е по-дълга АP (помисли защо ) .

В триъгълник AND може да намериш лесно всички страни [tex]4, \frac{3 \sqrt{3} }{2} , \frac{ \sqrt{55} }{2}[/tex] .
Тогава въпрос на сметки е да намериш [tex]sin(\angle AND)[/tex], а след това [tex]PM[/tex]и [tex]PD[/tex] (чрез косинус).

[Румен Симеонов]

Нищо сложно- може да я сведеш до планиметрия.
Да означим съответно с [tex]N,М[/tex] средата на BC и средата на нейната средна отсечка (за [tex]\triangle CBD[/tex]).

Центъра на сферата лежи в равнина перпендикулярна на [tex](BCD)[/tex] и в равнина симетрална за отсечката свързваща средите на [tex]BD[/tex] и [tex]CD[/tex].
Сечението на горните две равнини е симетралата на [tex]DN[/tex] в равнината определена от [tex]\triangle AND[/tex] и нека тя пресича [tex]AD[/tex] в точка P.

Тогава да лежи центъра на сферата вътре пирамидата е еквивалентно той да е вътрешна точка за отсечката PM, т.е. PM да е по-дълга АP (помисли защо ) .

В триъгълник AND може да намериш лесно всички страни [tex]4, \frac{3 \sqrt{3} }{2} , \frac{ \sqrt{55} }{2}[/tex] .
Тогава въпрос на сметки е да намериш [tex]sin(\angle AND)[/tex], а след това [tex]PM[/tex]и [tex]PD[/tex] (чрез косинус).

Благодаря да страхотните разсъждения. Що са отнася до коментара ,,нищо сложно", съглассен съм, но само от моя (явно и от Ваша) гледна точка, но по принцип това е относително и не за всеки е така. Впрочем, важна част от Вашите разсъждения повтарят част от моите разсъждения от моето решение на предишната задача на седмицата и то вероятно без да сте запознат с него,. което ме радва. Защо много се зарарадвах? Защото аз имах известни притеснения дали ще бъде признато моето решение в частта му с обосновката, че центърът на сферата лежи в равнина симетрална за отсечката свързваща средите на [tex]BD[/tex] и [tex]CD[/tex] - т.е.- лежи в равнината $AND$. Сега съм по-спокоен, защото явно Вие не бихте имал възражения по тази част от моето решение? По-нататък, аз си помислих, както Вие ни инструктирахте и реших, че не сте прав - бихте бил прав, например, ако се докаже, че $P$ е между $A$ и $D$ ако и ценърът на сферата би се бил проектирал върху $AM$ в средата на отсечката $AM$, а той се проектира в центъра на описаната окръжност около $AB'C'$, където $B'$ - средата на $BD$, $C'$ - средата на $CD$ и ако бихте бил плав, че $O$ лежи (и) на симетралата на $ND$, както твърдите, но не е вярно, защото $N$ не съвпада с центъра на окръжността описана около $BCD$. Силно съм склонен да приема, че всичко указано като ,,лесно" или като въпрос на сметки трябва да бъде признато, поне тук във форума, като все едно, че е вече извършено от автора на решението. Но все пак, трябва да бъде изрично указано/заявено и да е достатъчно лесно за потвърждаване, а значи - трябва и да е потвърдимо вярно. В такъв смисъл, не признавам вашия текст за решение. Задачата наистина не е много трудна, което и не беше моя цел, но, както се вижда, изисква определен брой важни разсъждения и не съвсем много малко пресмятания. В такъв смисъл, тя добре съответства на заглавието си. По този повод, Ви моля да изразите и становище дали тази задача е толкова лесна и очевидна, че дори може и да не се споменава, когато се използва тя или нещо подообно, в решението на S.B. на предишната задача на седмицата? За мен е важно Вашето мнение и по уточнителния въпрос дали и къде в решението на S.B. на предишната задача на седмицата неявно и незаявено се използва настоящата задача, или нещо подобно на нея, без доказателство, но и без указания за какво трябва да си помислим и какво допълнително трябва да пресметнем? Това е важхо за мен, защото искам да разбера при кандидатт-студентски конкурс какво мога и какво не мога да си спестя от доказване. И, разбира се, любопитно ми е и да знам и Вашата преценка, като се сравнят моето и това на S B. решения на предишната задача на седмицата: 1. След допълване с доказателства на неявно използваните без доказване от S.B. неща и след допълнане на недоизписаните от мен изчисления,, кое от двете решения ще се окаже сумарно по-кратко? 2. С плахост задавам и въпроса, чиито отговор е много субективен, разбира се, кое от двете решения ще е по-лесно за досещане и за достатъчно прецизно провеждане от гледна точка на мислимо евентуално участие на подобна задача в кандидат-студентски конкурс и наистина ли в моето решение на предишната задача на седмицата е избегната необходимостта да се използва настоящата задача или на нещо подобно на нея?

[Румен Симеонов]

Поправка:

"...(и) на симетралата на $ND$, както твърдите, но не е вярно, защото $N$ не съвпада с центъра на окръжността описана около $BCD$."

да се чете:

"...(и) на симетралата на $DN$, както твърдите, но не е вярно, защото $M$ не съвпада с центъра на окръжността описана около $BCD$."

[ptj]

Съгласен съм със забележката за центъра на сферата , защото търсим точка от симетралата равноотдалечена от А и средата на ръба CD, т.е. тя е точно центъра на описаната окръжност в триъгълника съдържащ А и споменатата по-рано средна отсечка ([tex]C_1B_1)[/tex].
Хубавото е, че това прави крайния отговор "лесен" (без сметки), защото единственото оставащо да се обоснове е, че триъгълник [tex]АB_1C_1[/tex] е остроъгълен, т.е. неговия център на описана окръжност е във вътрешна точка.


П.П. По-късно ще разгледам предишната задача и ще отговоря на зададените въпроси.

[ptj]

Коментарите към предишната задача на седмицата за мен са : "Много шум за нищо".

Кандидат-студентския изпит по математика:
Преди години можеше да ползваш всичко от четиризначните таблици (материала ,изучаван в училище). Всичко допълнително, изискваше доказателство.
Относно сегашните условия е най-добре да направиш необходимата справка в актуален кандидат-студентски справочник.

[Румен Симеонов]

Коментарите към предишната задача на седмицата за мен са : "Много шум за нищо".

Кандидат-студентския изпит по математика:
Преди години можеше да ползваш всичко от четиризначните таблици (материала ,изучаван в училище). Всичко допълнително, изискваше доказателство.
Относно сегашните условия е най-добре да направиш необходимата справка в актуален кандидат-студентски справочник.

Не са много шум за нищо. Въпросите ми са реални, но и малко с риторичен елемент, а и малко от уважение към колегите ... Истината е, че ,,решението" на S.B. въобще не е решение, защото е доста непълно ,,решение" което неявно използва настоящата задача или нещо близко до нея, която се оказа, че не е много лесна, при това без доказателство и без коректно заявяване какво се използва без доказателство. То същото не се съдържа в справочниците и, следователно, трябва да се доказва, за да има коректно и пълно решение за 6-ца. Поучително е да намерите къде в текста и в кой момент всъщност става това скрито използване на нещо без доказателство!

[Румен Симеонов]

Съгласен съм със забележката за центъра на сферата , защото търсим точка от симетралата равноотдалечена от А и средата на ръба CD, т.е. тя е точно центъра на описаната окръжност в триъгълника съдържащ А и споменатата по-рано средна отсечка ([tex]C_1B_1)[/tex].
Хубавото е, че това прави крайния отговор "лесен" (без сметки), защото единственото оставащо да се обоснове е, че триъгълник [tex]АB_1C_1[/tex] е остроъгълен, т.е. неговия център на описана окръжност е във вътрешна точка.


П.П. По-късно ще разгледам предишната задача и ще отговоря на зададените въпроси.

Мисля, че не съм казвал, че центъра $O$ на сферата се намира в някой център на някоя описана окръжност, а че се проектира в (съответен) център на описана окръжност. Проектирайки го върху/в равнината $BCD$ той пада в центъра $O_2$ на описаната около триъгълника $BCD$ окръжност, а като го проектираме върху/в равнината $AB_1C_1$ (вашите $B_1, C_1$ са моите $B', C')$ той пада в центъра $O_1$ на описаната около триъгълника $AB_1C_1$ окръжност. Така, че, задачата не става по-лесна нито много лесна и не се свежда до доказване на остроъгълността на който и да е от тези два триъгълника! Иначе, благодаря много за участието в разговора. Продължавам да очаквам с нетърпение обещаните от Вас отговори на поставените от мен въпроси.

[ptj]

Цитираните ми разсъждения ( за центровете) бяха неверни и за това ги премахнах.

Единственото, което не съм обосновал е защо [tex]\angle C_1AB_1[/tex] e остър:
Съществено е, че [tex]C_1B_1 \bot AD[/tex] (теорема за трите перпендикуляра). Последното ни гарантира съществуването на равнина, съдържаща [tex]C_1B_1[/tex] и перпендикулярна на [tex]AD[/tex]. Ако вземем произволна точка T от правата AD и разглеждаме мярката на [tex]\angle B_1TC_1[/tex], то неговия максимум се получава точно при принадлежност към перпендикулярна на [tex]AD[/tex] равнина (непосредствено следствие от косинусова теорема за тристенен ъгъл). Стойността на ъгъла тогава съвпада с ъгъла между околните равнини на пирамидата (остър по определение).
За останалите два ъгъла на [tex]\triangle АB_1C_1[/tex] разсъжденията са аналогични.

[Румен Симеонов]

Цитираните ми разсъждения ( за центровете) бяха неверни и за това ги премахнах.

Единственото, което не съм обосновал е защо [tex]\angle C_1AB_1[/tex] e остър:
Съществено е, че [tex]C_1B_1 \bot AD[/tex] (теорема за трите перпендикуляра). Последното ни гарантира съществуването на равнина, съдържаща [tex]C_1B_1[/tex] и перпендикулярна на [tex]AD[/tex]. Ако вземем произволна точка T от правата AD и разглеждаме мярката на [tex]\angle B_1TC_1[/tex], то неговия максимум се получава точно при принадлежност към перпендикулярна на [tex]AD[/tex] равнина (непосредствено следствие от косинусова теорема за тристенен ъгъл). Стойността на ъгъла тогава съвпада с ъгъла между околните равнини на пирамидата (остър по определение).
За останалите два ъгъла на [tex]\triangle АB_1C_1[/tex] разсъжденията са аналогични.

Както и преди забелязах, имате възхитителни разсъждения! Много ми хареса това за подвижната точка и максимумът на ъгъла. Демонстрирате и страхотно познаване на материала. Сега не си спомням косинусова теорема за тристененн ъгъл, да не би да е за 2-стенен, но това си е мой проблем. Не пречи и да я припомните тук - не само за мен ще е полезно. Както и да е, разсъждението е много красиво и е вярно. Аз си го доказах -- например, също става и чрез две равнинни косинусови теореми понеже стойността на косинуса намалява при увеличаване на ъгъла започвайки от остър ъгъл. Остротата на ъгъла [tex]\angle B_1AC_1[/tex], следва и чрез по-простото, но не толкова красиво разсъждение, че неговата половинка [tex]\angle MAB_1[/tex] в правоъгълния триъгълник $MAB_1$ лежи срещу по-малкия катет $3/4=12/16$, като предварително се изчисли, че по-големият е равен на [tex]\sqrt{127/16}[/tex]. Обаче, все още не Ви признавам думата ,,единствено", а от там и, че сте решил задачата не признавам, защото от остротата на ъглите в триъкълника [tex]\angle B_1AC_1[/tex] не следва, че точка проектираща се в центъра $O_1$ на описаната около него окръжност задължително щяла да бъде вътрешна за пирамидата. Моля пояснете какво допълнително нещо, освен споменатото остроъглие, имате предвид и как от двете неща, а не само от едното, следва, че центъра на сферата е вътре в пирамидата. Моля не изтривайте коментарите си под които има и мои коментари, защото така унищожавате и моя труд да анализирам и коментирам Ваши разсъждения, а и има и други полезни неща в моите коментари под Вашите. Евентуални грешки не са голям проблем. И аз имам коментари с грешки. Просто под тях добавям коментар изправящ грешките. Впрочем, на мен системата някъде към четвъртия час от публикуването вече не ми разрешава да изтривам собствения си коментар. Вие да не би да сте администратор или пишете съответна молба до администраторите? Моля научете ме как става?

[Румен Симеонов]

pt: Цитираните ми разсъждения ( за центровете) бяха неверни и за това ги премахнах.

Единственото, което не съм обосновал е защо [tex]\angle C_1AB_1[/tex] e остър:
Съществено е, че [tex]C_1B_1 \bot AD[/tex] (теорема за трите перпендикуляра). Последното ни гарантира съществуването на равнина, съдържаща [tex]C_1B_1[/tex] и перпендикулярна на [tex]AD[/tex]. Ако вземем произволна точка T от правата AD и разглеждаме мярката на [tex]\angle B_1TC_1[/tex], то неговия максимум се получава точно при принадлежност към перпендикулярна на [tex]AD[/tex] равнина (непосредствено следствие от косинусова теорема за тристенен ъгъл). Стойността на ъгъла тогава съвпада с ъгъла между околните равнини на пирамидата (остър по определение).
За останалите два ъгъла на [tex]\triangle АB_1C_1[/tex] разсъжденията са аналогични.

Румен Симеонов:
Както и преди забелязах, имате възхитителни разсъждения! Много ми хареса това за подвижната точка и максимумът на ъгъла. Демонстрирате и страхотно познаване на материала. Сега не си спомням косинусова теорема за тристененн ъгъл, да не би да е за 2-стенен, но това си е мой проблем. Не пречи и да я припомните тук - не само за мен ще е полезно. Както и да е, разсъждението е много красиво и е вярно. Аз си го доказах -- например, също става и чрез две равнинни косинусови теореми понеже стойността на косинуса намалява при увеличаване на ъгъла започвайки от остър ъгъл. За останалите 2 (а те са равни помежду си) ъгъла не виждам аналогични разсъждения, но пък те са в правоъгълен триъгълник където са различни от правия ъгъл, което винаги е налице за два равни ъгъла в един триъгълник. Остротата на ъгъла [tex]\angle B_1AC_1[/tex], следва и чрез по-простото, но не толкова красиво разсъждение, че неговата половинка [tex]\angle MAB_1[/tex] в правоъгълния триъгълник $MAB_1$ лежи срещу по-малкия катет $3/4=12/16$, като предварително се изчисли, че по-големият е равен на [tex]\sqrt{127/16}[/tex]. Обаче, все още не Ви признавам думата ,,единствено", а от там и, че сте решил задачата не признавам, защото от остротата на ъглите в триъкълника [tex]\angle B_1AC_1[/tex] не следва, че точка проектираща се в центъра $O_1$ на описаната около него окръжност задължително щяла да бъде вътрешна за пирамидата. Моля пояснете какво допълнително нещо, освен споменатото остроъглие, имате предвид и как от двете неща, а не само от едното, следва, че центъра на сферата е вътре в пирамидата. Моля не изтривайте коментарите си под които има и мои коментари, защото така унищожавате и моя труд да анализирам и коментирам Ваши разсъждения, а и има и други полезни неща в моите коментари под Вашите. Евентуални грешки не са голям проблем. И аз имам коментари с грешки. Просто под тях добавям коментар изправящ грешките. Впрочем, на мен системата някъде към четвъртия час от публикуването вече не ми разрешава да изтривам собствения си коментар. Вие да не би да сте администратор или пишете съответна молба до администраторите? Моля научете ме как става?

[ptj]

Центъра на сферата се проектира в центъра O_1 на описаната в [tex]\triangle АB_1C_1[/tex] окръжност, защото АB_1C_O е пирамида с равни околни ръбове (радиуси на сферата).
Нека вземем произволна точка от ръба [tex]L[/tex] от ръба [tex]AD[/tex], за която [tex]AL=LB_1[/tex]. Очевидно [tex]AB_1C_1L[/tex] също е пирамида с равни околни ръбове, т.е. точките [tex]L,O[/tex] и [tex]O_1[/tex] лежат на една права. Тогава [tex]О[/tex] е вътрешна точка за пирамидата, точно когато [tex]О[/tex] е между [tex]L[/tex] и [tex]О_1[/tex].

Да се върнем на симетралната равнина през [tex]C_1,B_1[/tex] за апотемата [tex]DA_1[/tex]. Нейното сечение с равнината [tex](ABD)[/tex] e права перпендикулярна на BD.
Обратното - нека в [tex]\triangle BDA[/tex] прекараме перпендикулярна права към средата [tex]B_1[/tex] (на [tex]BD[/tex])
и нека пресеченaта точка на този перпендикуляр с [tex]AD[/tex] e [tex]S[/tex].
Тогава точка O e вътрешна за [tex]\triangle SB_1C_1[/tex], точно когато [tex]SB_1>AL[/tex].

П.П. Използвам също, че [tex]О[/tex] лежи в равнината [tex]АA_1D[/tex].

[Румен Симеонов]

Центъра на сферата се проектира в центъра O_1 на описаната в [tex]\triangle АB_1C_1[/tex] окръжност, защото АB_1C_O е пирамида с равни околни ръбове (радиуси на сферата).
Нека вземем произволна точка от ръба [tex]L[/tex] от ръба [tex]AD[/tex], за която [tex]AL=LB_1[/tex]. Очевидно [tex]AB_1C_1L[/tex] също е пирамида с равни околни ръбове, т.е. точките [tex]L,O[/tex] и [tex]O_1[/tex] лежат на една права. Тогава [tex]О[/tex] е вътрешна точка за пирамидата, точно когато [tex]О[/tex] е между [tex]L[/tex] и [tex]О_1[/tex].

Да се върнем на симетралната равнина през [tex]C_1,B_1[/tex] за апотемата [tex]DA_1[/tex]. Нейното сечение с равнината [tex](ABD)[/tex] e права перпендикулярна на BD.
Обратното - нека в [tex]\triangle BDA[/tex] прекараме перпендикулярна права към средата [tex]B_1[/tex] (на [tex]BD[/tex])
и нека пресеченaта точка на този перпендикуляр с [tex]AD[/tex] e [tex]S[/tex].
Тогава точка O e вътрешна за [tex]\triangle SB_1C_1[/tex], точно когато [tex]SB_1>AL[/tex].

П.П. Използвам също, че [tex]О[/tex] лежи в равнината [tex]АA_1D[/tex].

Не е вярно, че ,,$О$ е вътрешна точка за пирамидата, точно когато $О$ е между $L$ и $О_1$", дори и ако обосновете, че именно между А и D, а не след D при движение от A към D се намира пресечната точка $L$ на симетралата на $AB_1$ с правата $AD$!.

По повод

,,​Тогава точка O e вътрешна за [tex]\triangle SB_1C_1[/tex], точно когато [tex]SB_1>AL[/tex]. ":

няма да можете да докажете, че $O$ e вътрешна за [tex]\triangle SB_1C_1[/tex], защото тя лежи на правата $SO_2$ , където $O_2$ е между $M$ и $N$.

[ptj]

Имаме две триъгълни пирамиди с обшa основa. Освен това околните ръбове на всяка от тях са равни.

Можел ли да твърдим, че центъра на вписаната в общата основа окръжност и другите два върха на пирамидите (не принадлежащи на основата) лежат на една и съща права, която е перпендикулярна на основата?

[Румен Симеонов]

Имаме две триъгълни пирамиди с обшa основa. Освен това околните ръбове на всяка от тях са равни.

Можел ли да твърдим, че центъра на вписаната в общата основа окръжност и другите два върха на пирамидите (не принадлежащи на основата) лежат на една и съща права, която е перпендикулярна на основата?

Да, но само ако триъгъникът е равостранен или ако имате предвид центъра на описаната а не на вписаната окръжност - тогава да можем да твърдим, че са на една и съща права, но коя е между другите две, само по тази информация, все още не можем да твърдим, както и, само по тази информация, все още не можем да твърдим дали двата върха на пирамиди са или не са от една и съща страна спрямо равнината на основата. Ако центърът на вписаната не съвпада с центъра на описаната то тогава въпросните върхове няма да са на една права с центъра на вписаната.

[ammornil]

Да, но само ако триъгъникът е равостранен или ако имате предвид центъра на описаната а не на вписаната окръжност - тогава да можем да твърдим ...

В равностранен триъгълник вписаната и описаната окръжност имат един и същи център. Само отбелязвам, че горното е безсмислица...

[ptj]

Имаме две триъгълни пирамиди с обшa основa. Освен това околните ръбове на всяка от тях са равни.

Можел ли да твърдим, че центъра на вписаната в общата основа окръжност и другите два върха на пирамидите (не принадлежащи на основата) лежат на една и съща права, която е перпендикулярна на основата?

Да, но само ако триъгъникът е равостранен или ако имате предвид центъра на описаната а не на вписаната окръжност - тогава да можем да твърдим, че са на една и съща права, но коя е между другите две, само по тази информация, все още не можем да твърдим, както и, само по тази информация, все още не можем да твърдим дали двата върха на пирамиди са или не са от една и съща страна спрямо равнината на основата. Ако центърът на вписаната не съвпада с центъра на описаната то тогава въпросните върхове няма да са на една права с центъра на вписаната.

Направил съм техническа грешка, имах предвид описаната окръжност.Забравил съм да спомена също , че пирамидите са в едно и съща полупространство спрямо основата.
Можем ли да твърдъм също, че върха намираш се между другия и центъра на описаната в основата окръжност се явява вътрешен за другата пирамида?

[Румен Симеонов]

quote="Румен Симеонов" quote="ptj"Имаме две триъгълни пирамиди с обшa основa. Освен това околните ръбове на всяка от тях са равни.

Можел ли да твърдим, че центъра на вписаната в общата основа окръжност и другите два върха на пирамидите (не принадлежащи на основата) лежат на една и съща права, която е перпендикулярна на основата?/quote

Да, но само ако триъгъникът е равостранен или ако имате предвид центъра на описаната а не на вписаната окръжност - тогава да можем да твърдим, че са на една и съща права, но коя е между другите две, само по тази информация, все още не можем да твърдим, както и, само по тази информация, все още не можем да твърдим дали двата върха на пирамиди са или не са от една и съща страна спрямо равнината на основата. Ако центърът на вписаната не съвпада с центъра на описаната то тогава въпросните върхове няма да са на една права с центъра на вписаната./quote

Направил съм техническа грешка, имах предвид описаната окръжност.Забравил съм да спомена също , че пирамидите са в едно и съща полупространство спрямо основата.
Можем ли да твърдъм също, че върха намираш се между другия и центъра на описаната в основата окръжност се явява вътрешен за другата пирамида?

Да, при тези условия - може. Иска малко даказване, но това са дребни подробности, на които с теб ще отговорим (аз) при запитване.

[Румен Симеонов]

Да, но само ако триъгъникът е равостранен или ако имате предвид центъра на описаната а не на вписаната окръжност - тогава да можем да твърдим ...

В равностранен триъгълник вписаната и описаната окръжност имат един и същи център. Само отбелязвам, че горното е безсмислица...

Нищо. подобно. То даже е (много полезно) мета-матемахическо твърдение, относно математическо твърдение и възможността за неговото използване.. Не знам като какъв вид безсмислици ще окачествите тафтологиите от математическата логика, които са много полезни и даже малко основополагащи, ако добре си спомням. Знам какво имате предвид. Благодаря за мнението и вниманието, все пак.

[Румен Симеонов]

quote="Румен Симеонов" quote="ptj"Имаме две триъгълни пирамиди с обшa основa. Освен това околните ръбове на всяка от тях са равни.

Можел ли да твърдим, че центъра на вписаната в общата основа окръжност и другите два върха на пирамидите (не принадлежащи на основата) лежат на една и съща права, която е перпендикулярна на основата?/quote

Да, но само ако триъгъникът е равостранен или ако имате предвид центъра на описаната а не на вписаната окръжност - тогава да можем да твърдим, че са на една и съща права, но коя е между другите две, само по тази информация, все още не можем да твърдим, както и, само по тази информация, все още не можем да твърдим дали двата върха на пирамиди са или не са от една и съща страна спрямо равнината на основата. Ако центърът на вписаната не съвпада с центъра на описаната то тогава въпросните върхове няма да са на една права с центъра на вписаната./quote

Направил съм техническа грешка, имах предвид описаната окръжност.Забравил съм да спомена също , че пирамидите са в едно и съща полупространство спрямо основата.
Можем ли да твърдъм също, че върха намираш се между другия и центъра на описаната в основата окръжност се явява вътрешен за другата пирамида?

Да, при тези условия - може. Иска малко даказване, но това са дребни подробности, на които с теб ще отговорим (аз) при запитване.

Поправка-уточнение: Това което казах:
,,Да, при тези условия - може."" е вярно САМО АКО ДОПЪЛНИТЕЛНО Е ФАКТ, че центъра на описаната около основата-триъгълник е вътре в този триъгълник. Ако не е вътре, то и споменатия връх между върха на другата пирамида и центъра на описаната около основата триъгълни е вън от ,,другата" пиирамида.

[ptj]

Центъра на сферата О се проектира в центъра O_1 на описаната в [tex]\triangle АB_1C_1[/tex] окръжност, защото АB_1C_O е пирамида с равни околни ръбове (радиуси на сферата).
Нека вземем произволна точка от ръба [tex]L[/tex] от ръба [tex]AD[/tex], за която [tex]AL=LB_1[/tex]. Очевидно [tex]AB_1C_1L[/tex] също е пирамида с равни околни ръбове, т.е. точките [tex]L,O[/tex] и [tex]O_1[/tex] лежат на една права. Тогава [tex]О[/tex] е вътрешна точка за пирамидата, точно когато [tex]О[/tex] е между [tex]L[/tex] и [tex]О_1[/tex]...

Написаното горе принципно е същото като в предищния ми пост.

[Румен Симеонов]

Центъра на сферата О се проектира в центъра O_1 на описаната в [tex]\triangle АB_1C_1[/tex] окръжност, защото АB_1C_O е пирамида с равни околни ръбове (радиуси на сферата).
Нека вземем произволна точка от ръба [tex]L[/tex] от ръба [tex]AD[/tex], за която [tex]AL=LB_1[/tex]. Очевидно [tex]AB_1C_1L[/tex] също е пирамида с равни околни ръбове, т.е. точките [tex]L,O[/tex] и [tex]O_1[/tex] лежат на една права. Тогава [tex]О[/tex] е вътрешна точка за пирамидата, точно когато [tex]О[/tex] е между [tex]L[/tex] и [tex]О_1[/tex]...

Написоното горе принципно е същото като в предищния ми пост.

Не разбирам. Ако твърдите, че вече стигнахте до решение, не е лошо наново и начисто да заявите всички важни стъпки на решението, без подробни доказателства, но с подробно заявяване какво и как ще се докаже на всяка поредна стъпка. Защото и аз взех да се обърквам при какви условия ми задавате въпросите, а и се поуморих малко. Но ако скицирате решение, още веднъж ще Ви го проверя.

[ptj]

О.К. Ще го направя по-късно.